Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

y ' + 2 t y = c o s t t 2 ,         y π = 0 ,       t > 0

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

y ' + 2 t y = c o s t t 2

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + 2 t μ t   y = μ t   c o s t t 2

De modo que

d μ t d t = 2 t μ t   ⟹     d μ t μ t = 2 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 2 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ 2 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = ln ⁡ t 2   ⟹   μ t = t 2

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + 2 t μ t   y = μ t c o s t t 2   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t c o s t t 2   ⟹   d   μ t   y =   μ t c o s t t 2 d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ t 2 y =   ∫ t 2 c o s t t 2 d t =   ∫ c o s t d t = s e n t + C

y   = s e n t t 2 + C t 2

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y π = 0 = s e n π π 2 + C π 2 ⟹ C = 0  

y ( t )   = s e n t t 2

Resposta

y ( t )   = s e n t t 2

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Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação. y + 2 x - y e y y ' = 0 ,μ x , y = y
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
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