Enunciado

Em casa um dos problemas de 19 a 22, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata multiplicando pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação.

y + 2 x - y e y y ' = 0 ,       μ x , y = y

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

2 x - y e y d y = - y d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

y d x + 2 x - y e y d y = 0

Assim temos que

d d y y - d d x 2 x - y e y

= 1 - 2 ≠ 0

E a forma de transformá-la em exata é utilizando o fator integrante dado da seguinte forma.

μ x , y y d x + μ x , y 2 x - y e y d y = 0

Assim temos

y 2 d x + 2 x y + y 2 e y d y = 0

Agora queremverificar se nossa equação é exata

d d y y 2 - d d x 2 x y + y 2 e y = 0

Assim ela sendo exata, podemos na busca da nossa solução

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = y 2

E

d d y Y x , y = 2 x y + y 2 e y

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ y 2 d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo?

Y x , y = x y 2 + C y

Se derivarmos, deveríamos obter 2 x y + y 2 e y , ou seja

d d y Y x , y = d d y x y 2 + C y

= 2 x y + C ' y = 2 x y + y 2 e y

Com

C ' y = y 2 e y

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = e y y 2 - 2 y + 2 + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = x y 2 - e y y 2 - 2 y + 2 + C

Resposta

x y 2 - e y y 2 - 2 y + 2 + C

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