Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 14:

  1. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.
  2. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y 1 e y 2 (a menos que a série termine antes).
  3. Calculando o wronskiano W y 1 ,   y 2 x 0 , mostre que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções.
  4. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

4 - x 2 y ' ' + 2 y = 0 ,     x 0 = 0

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar a forma de série de potências para encontrarmos a solução da nossa EDO. Vamos primeiro supor que a solução seja algo do tipo

y = ∑ n a n ⋅ x - x 0 n

usando as informações dadas no enunciado. Vamos derivar duas vezes essa expressão para encontrarmos y ' e y ' ' e após um bom tempo manipulando as expressões, encontraremos nosso y 1 e y 2 para calcularmos o Wronskiano.

Passo 2

Bom, vamos lá! Pra começar, vamos seguir mais ou menos como foi dito no passo 1. Vamos supor y = ∑ n a n ⋅ x - x 0 n , como já dito, e usar o x 0 dado no enunciado. Assim temos que

y = ∑ n = 0 a n ⋅ x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

Se derivarmos duas vezes, vamos chegar que

y ' ' = 2 ⋅ a 2 + … + n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 = ∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2

Substituindo agora na nossa equação inicial, vamos ter que

4 - x 2 ∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 + 2 ∑ n = 0 a n ⋅ x n = 0

Vamos expandir um pouco essa equação e manipular.

∑ n = 2 4 ⋅ n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 + ∑ n = 0 2 ⋅ a n ⋅ x n = ∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n

Precisamos achar um jeito de deixar ambos os lados da igualdade com os mesmos índices na somatória e apenas com o termo x n para encontrarmos a relação de recorrência. Para isso, vamos escrever ∑ n = 2 4 ⋅ n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 como

∑ n = 0 4 ⋅ ( n + 2 ) ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 ⋅ x n

e vamos expandir os termos do outro lado da igualdade. Assim, ficaremos com nossa equação na forma

2 a 0 + 8 a 2 + 2 a 1 + 24 a 3 x + ∑ n = 2 4 ⋅ n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 - n ⋅ n - 1 a n + 2 a n x n = 0

Para toda essa relação ser verdade, temos que nossa equação de recorrência será

4 ⋅ n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 - n ⋅ n - 1 a n + 2 a n = 0

4 ⋅ n + 2 a n + 2 = n - 2 a n ,     n = 0 ,   1 ,   2 …

Sendo essa a resposta do nosso primeiro item.

Passo 3

Para o segundo item, vamos precisar encontrar as duas soluções y 1 e y 2 para a EDO. Se expandirmos nossa equação de recorrência, vamos chegar que

a 2 = - 2 a 0 4 ⋅ 2 ,     a 4 = 0 ,     a 6 = 2 a 4 4 ⋅ 6 = 0

a 3 = - a 1 4 ⋅ 3 ,     a 5 = a 3 4 ⋅ 5 = - a 1 4 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ,     a 7 = 3 a 5 4 ⋅ 7 = - 3 ⋅ a 1 4 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 7

Podemos ver que para n = 2 k , teremos que a 2 k = 0 para todo k = 2 ,   3 … , pois o termo a 4 = 0 . Já para o caso de n = 1 ,   3 ,   5 … teremos que n = 2 k + 1

a 2 k + 1 = 2 k - 3 ⋅ a 2 k - 1 4 ⋅ 2 k + 1 = 2 k - 5 ⋅ 2 k - 3 ⋅ a 2 k - 3 4 2 ⋅ 2 k + 1 ⋅ 2 k - 1 = … = - a 1 4 k ⋅ 2 k - 1 2 k + 1 .

Substituindo na nossa equação geral do passo 2, teremos que

y = a 0 + a 1 x - a 0 x 2 4 - a 1 ∑ n = 1 ∞ x 2 n + 1 4 n ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1 = 1 - x 2 4 a 0 + x - ∑ n = 1 ∞ x 2 n + 1 4 n ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1

E nossas duas soluções linearmente independentes serão, como da forma y = c 1 y 1 + c 2 y 2

y 1 = 1 - x 2 4

y 2 = x - x 3 12 - x 5 240 - x 7 2240 - … = x - ∑ n = 1 ∞ x 2 n + 1 4 n ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1

Sendo essa a resposta do segundo item e do ultimo.

Passo 4

Se aplicarmos o wronskiano no ponto x 0 = 0 , teremos que y 1 x 0 = 1 , y 2 x 0 = 0 y 1 ' x 0 = 0 e y 2 ' x 0 = 1 . Assim, fazendo o determinante, temos que o wronskiano da

W y 1 , y 2 x 0 = 1 0 0 1 = 1

sendo então um conjunto fundamental de soluções e a resposta do nosso terceiro item.

Resposta

  1. 4 ⋅ n + 2 a n + 2 = n - 2 a n ,     n = 0 ,   1 ,   2 …
  2. y 1 = 1 - x 2 4 ,     y 2 = x - ∑ n = 1 ∞ x 2 n + 1 4 n ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1
  3. W = 1
  4. x 2 n + 1 4 n ⋅ 2 n - 1 ⋅ 2 n + 1
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