Lista de Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Determine a solução do problema de valor inicial

y ' ' - 2 x y ' + 8 y = 0

Com y 0 = 3   e   y ' 0 = 0

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  1. Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinte problema de valor inicial:
  2. {   y 0 = 1 ,         y ' 0 = 0 y ' ' x + 2 x y ' x + 2 y = 0                      

    Determinar o domínio de definição da solução y ( x ) .

  3. Calcular y ( x )  

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Nos problema de 1 a 14, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto x 0 dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatro primeiros termos em cada uma das suas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

1 + x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

x 0 = 0

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Considere a equação diferencial

y ' ' - y - x + 1 e x + 1 = 0

( a ) Mostre que x = - 1 é um ponto ordinário para a equação.

( b ) Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada em x = - 1 , usando a fórmula de Taylor para a exponencial:

e y = ∑ n = 0 ∞ y n n !

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Encontre uma solução em série para a equação

y ' ' + y = 0

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  1. Considere a equação diferencial y ' ' - x y ' - y = 0 . Ache a expressão geral de uma solução em forma de série de potências:
  2. y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

    Supondo que a 1 = 0 .

  3. Considere a equação diferencial y ' ' - x y ' - y = 1 . Ache a solução em forma de série de potências:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Supondo que a 0 = a 1 = 0 .

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Considere a equação diferencial y ' ' - 2 x 2 y ' - 4 x y = 0 e:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

  1. Mostre que, para qualquer solução em série de potências, a 2 = 0 .
  2. Mostre que a 3 = 2 3 a 0 e que a 4 = 1 2 a 1 .
  3. Achar os 10 primeiros termos da solução com condição inicial a 0 = 1 , a 1 = 0 .
  4. Determine a expressão geral da solução encontrada no item c).

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Considere a equação diferencial 1 + x 2 y ' ' + x y ' - y = 0 , cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

  1. Ache os primeiros 7 termos da solução com condição inicial y 0 = 1 , y ' 0 = 1 .
  2. Determinea solução geral da equação diferencial.
  3. Determine todas as condições iniciais y 0 , y ' 0 , tais que a solução correspondente é uma função par (isto é, y x = y - x , para todo x ).

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Considere a equação diferencial y ' + 2 x y = x 2 , cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

(a) Ache os primeiros 7 termos da solução com condição inicial y 0 = 2 .

(b) Determine uma relação de recorrência entre os coeficientes.

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Considere a equação diferencial

y ' ' - x y = 1

Com y 0 = 1 e y ' 0 = 0

Cuja solução buscaremos na forma de uma série de potencias

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n    

(a) Determine a relação de recorrência entre os coeficientes.

(b) Escreva os seis primeiros termos.

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Considere a equação diferencial

1 + x 2 y ' ' + x y ' - 4 y = 0

Cuja solução buscaremos na forma de séries de potências:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

(a) Determine uma relação de recorrência entre os coeficientes.

(b) Determine y ( x ) sabendo que   y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

(c) Determine a solução geral da equação.

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Determine a solução geral da equação diferencial y ' ' + x y ' + 2 y = 0 em série de potências centrada em 0 e dê o seu raio de convergência

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Considere a equação diferencial

x 2 + 1 y ' ' + x + 1 y ' + y = 0

Determine a relação de recorrência da solução por série de potências de ( x + 1 ) (série centrada em x 0 = - 1 ) da equação dada.

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Considere a equação diferencial de Tchebycheff

1 - x 2 y ' ' - x y ' + α 2 y = 0

Sabendo que y = a 0 y 1 x + a 1 y 2 ( x ) é a solução geral da equação por série em torno do ponto x 0 = 0 .

  1. Determine uma cota inferior para o raio de convergência das soluções em série y 1 ( x ) e y 2 ( x ) linearmente independentes da equação em torno de x 0 = 0 .
  2. Determine a relação de recorrência. Justifique.
  3. Determine a solução geral da equação de Tchebycheff. Justifique.

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Determinar uma solução em série para o problema de valor inicial

1 + x 2 y ' ' + x y ' - 25 y = 0 y 0 = 0 ,         y ' 0 = 1                    

E determine o raio de convergência dessa solução.

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Considere a equação diferencial

1 + x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0

  1. Mostre que o ponto x = 0 é um ponto ordinário da equação diferencial e dê uma cota inferior para o raio de convergência da solução em séries de potências em torno de x = 0 .
  2. Encontre a solução geral da equação diferencial.
  3. Qual é o raio de convergência da solução que satisfaz y 0 = 1 e y ' 0 = 0 ?

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  1. Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinte problema de valor inicial:
  2. y ' ' x + 2 x y ' x + 2 y = 0 y 0 = 1 ,         y ' 0 = 0                    

    Determinar o domínio de definição da solução y ( x ) .

  3. Calcular lim x → ∞ ⁡ y ( x )

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Considere o seguinte problema de valores iniciais:

( I ) y ' ' x - x y ' x = s e n   x y 0 = 1 ,                 y ' 0 = 2

Deseja-se procurar a solução de ( I ) em forma de série de potências centrada na origem x = 0 , isto é, y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n .

  1. Use que o desenvolvimento em série de Taylor da função s e n   x é dado por
  2. ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! x 2 k + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + …

    Para determinar a relação de recorrência entre os coeficientes da série de potências y ( x ) .

  3. Determine os valores de a n com 1 ≤ n ≤ 6 .

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A seguinte equação, chamada equação de Hermite, tem papel importante na teoria da mecânica quântica

y ' ' + x - 1 y ' + y = 0

  1. Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada en x = 1 .
  2. Mostre que a solução geral está definida para todo x ∈ R .
  3. Calcule lim x → ∞ ⁡ y 0 ( x ) , onde y 0 ( x ) é a solução satisfazendo y 1 = 1 ,   y ' 1 = 0 . (Sugestão: use que 2 n n ! = 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ∙ ∙ 2 n .)

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Considere a equação diferencial

ε         y ' ' - x y ' - y = 0

x 0 = 0

  1. Prove que o ponto x = 0 é um ponto ordinário da equação ε .
  2. Achar, na forma de uma série de potências, a solução y ( x ) de ε que satisfaz y 0 = 3 e y ' 0 = 0 . Calcular o raio de convergência R dessa solução.

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Considere a seguinte equação diferencial ordinária:

1 - x 2 y ' ' - 2 y = 0

  1. Seja
  2. y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

    Uma solução da EDO definida numa vizinhança do ponto x = 0 . Encontre a relação de recorrência satisfeita pelos coeficientes de a n

  3. Resolva o problema de valor inicial associado à equação com condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = - 2

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Considere a equação diferencial

y ' ' - y - x + 1 e x + 1 = 0

( a ) Mostre que x = - 1 é um ponto ordinário para a equação.

( b ) Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada em x = - 1 , usando a fórmula de Taylor para a exponencial:

e y = ∑ n = 0 ∞ y n n !

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Considere a equação diferencial

x 2 + 3 y ' ' - 7 x y ' + 16 y = 0 ,       x > 0

( a ) Mostre que x = 0 é ponto ordinário.

( b ) Determine a fórmula de recorrência da solução em série da equação.

( c ) Determine os quatro primeiros termos não nulos de cada uma das soluções linearmente independentes.

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Resolva a equação diferencial

3 - x 2 y ' ' - 3 x y ' - y = 0

através de uma série de potências em torno do ponto x = 0 . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.

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3. Prove que a série de potências y = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n x n é solução da equação:

x + 1 y ' ' + y ' = 0

Determine os três primeiros termos de uma segunda solução linearmente independente.

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4 . Determine uma cota inferior para o raio de convergência das séries obtidas como solução de

x 2 - 25 y ' ' + 2 x y ' + y = 0

Ao redor dos pontos x = 0 e x = 1 .

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3. Prove que a série de potências y = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n n ! 2 x 2 n é solução da equação:

x y ' ' + y ' + x y = 0

OBS: No enunciado original, a série dada contém erro de digitação.

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5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto x = 0 nos casos

  a   y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 0

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5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto x = 0 nos casos

  b   ( x 2 + 1 ) y ' ' - 6 y = 0

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6. Determine a solução do problema de valor inicial

y ' ' - 2 x y ' + 8 y = 0

Com y 0 = 3   e   y ' 0 = 0

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5. Determine todas as soluções da equação dada ao redor do ponto x = 0 nos casos

  b   x 2 - 1 y ' ' + x y ' - y = 0

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Ache a solução geral, dada em séries de potências centradas em 0 , da equação diferencial:

y ' ' - x 2 y = 0

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Buscaremos uma solução em série no formato

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

para a equação diferencial

x 2 - 1 y ' ' - x y ' - 3 y = - 8 - 6 x - 3 x 2

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial com as condições iniciais y 0 = 2 e y ' 0 = 0 .
  2. Determine o raio de convergência da solução do item anterior.

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Considere a equação diferencial:

x - π 2 y ' ' + cos ⁡ x y ' + x - π 2 ² y = 0

Demonstre que o ponto x = π 2 é um ponto ordinário da equação.

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Considere a equação diferencial:

x - π 2 y ' ' + c o s   x   y ' + x - π 2 ² y = 0

Se ∑ n = 0 ∞ a n x - π 2 n é uma solução da equação, determine as equações lineares que relacionam os primeiros coeficientes a 0 ,   a 1 , a 2 e a 3 .

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Considere a equação diferencial

3 - x 2 y ' ' - 3 x y ' - y = 0

a)Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário desta equação.

b)Dado que a fórmula de recorrência da equação em (a) é:

a n + 2 = n + 1 3 n + 2 a n ,     n ≥ 0

Determine a solução satisfazendo as condições inicias y 0 = 1 e y ' 0 = - 2 . Determine o termo geral dessa solução.

c) Determine o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em (b)

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Considere a equação de Chebyshev:

1 - x 2 y ' ' - x y ' + k 2 y = 0                           ( 1 )

Onde k é uma constante inteiro não-negativo.

  1. Justificar que x = 0 é um ponto ordinário de (1).
  2. Determinar uma cota inferior para o raio de convergência da solução de (1), dada em série de potências em torno de x = 0 .
  3. Determinar a relação de recorrência que satisfazem os coeficientes a n da solução em série de potências citadas no item b.
  4. Considerar k = 4 e determinar as soluções de (1), em série de potências, que verificam a condição y ' 0 = 0 .

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  1. Mostre que x = 0 é um ponto ordinário para a equação
  2. x 2 + 1 y ' ' + 2 x y ' - 2 y = 0

  3. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
  4. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
  5. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que y 0 = 2 e y ' 0 = 3

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Considere a seguinte equação diferencial

y ' ' - 2 x y ' + α y = 0

Em que α é uma constante e cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências.

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

  1. Encontre a relação de recorrência entre os coeficientes.
  2. Considere a solução geral na forma y = a 0 y 1 + a 1 y 2 . Determine α de forma que uma das soluções y 1 o u   y 2 seja um polinômio de grau 5

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  1. Mostre que x = 0 é um ponto ordinário para a equação
  2. x 2 + 1 y ' ' + 2 x y ' - 2 y = 0

  3. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
  4. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
  5. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que y 0 = 2 e y ' 0 = 3

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  1. Mostre que x = 0 é um ponto ordinário para a equação
  2. x 2 - 1 y ' ' + 8 x y ' + 12 y = 0

  3. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
  4. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
  5. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que y 0 = 2 e y ' 0 = 3

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Considere a EDO linear de segunda ordem

4 - x 2 y ' ' + 2 y = 0

  1. Determine o raio mínimo das series de potências das soluções da EDO em torno do ponto ordinário x = 0 .
  2. Determine a solução geral da equação, em torno do ponto x = 0 , usando séries de potências. Encontre a relação de recorrência e duas soluções linearmente independentes em séries de potencias, indicando o termo geral de cada solução.

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Supondo que y 0 = y ' 0 = 1 , calcule os quatro primeiros termos da solução na origem da equação:

e x y ' ' + x y = 0

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Resolva a equação diferencial

y ' ' + x y ' + y = 0

através de uma série de potências em torno do ponto ordinário x = 0 . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.

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Considere o seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + x 6   y ' + 7 x 5 y = 0

y 0 = 2

y ' 0 = 3

  • Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário.
  • Obtenha os 7 primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto x 0 = 0 .

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Considere o seguinte problema de valor inicial:

3 y ' ' + 2 x y ' + 4 - x 2 y = 0

y 0 = - 2

y ' 0 = 3

  • Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário.
  • Obtenha os 7 primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto x 0 = 0 .

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Considere o seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + 4 x y ' + 4 x 2 + 2 y = 0

y 0 = 1

y ' 0 = 1

  • Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário.
  • Obtenha os 8 primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto x 0 = 0 .

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Considere o seguinte problema de valor inicial:

1 - 2 x 3 y ' ' + 6 x 2   y ' + 24 x y = 0

y 0 = 1

y ' 0 = 1

  • Mostre que x 0 = 0 é um ponto ordinário.
  • Obtenha os 7 primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto x 0 = 0 .

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Considere a equação

y " - x y ' - y = 0

  1. Mostre que x   =   0 é ponto ordinário dessa equação.
  2. Determine a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série dessa equação em torno do ponto x   =   0 .
  3. Determine os primeiros quatro termos não nulos da solução y ( x ) que satisfaz y ( 0 )   =   2 e y   '   ( 0 )   =   0 .

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Considere a seguinte equação diferencial:

2 - x 2 y ' ' + 2 y = 0

cuja solu��ão buscaremos na forma de uma série de potências

y x = ∑ n = 0 ∞ a n ∙ x n

  1. Sem determinar a solução, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série.
  2. Encontre duas soluções y 1 e y 2 que formam um conjunto fundamental de soluções para a E D O acima.
  3. Determine a solução geral da E D O .

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Resolva a equação diferencial

3 - x 2 y ' ' - 3 x y ' - y = 0

Através de uma série de potências em torno do ponto x = 0 . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.

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Considere a equação

x 2 - x y ' ' + x + 2 y ' + 2 y = e x - 1

( a ) Mostre que x 0 = 1 é um ponto ordinário dessa equação.

( b ) Determine a relação de recorrência da solução em séries dessa equação em torno desse ponto.

( c ) Determine uma cota inferior para o raio de convergência da série encontrada em ( b ) .

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Considere a seguinte EDO: x 2 y ' ' + x - 1 y ' + x + 1 y = 0

  1. Mostre que x 0 = 1 é um ponto ordinário dessa equação.
  2. Determine a relação de recorrência da solução em séries dessa equação em torno deste ponto.
  3. Determine uma cota inferior para o raio de convergência da série encontrada em (b).

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Buscaremos uma solução em série no formato y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

para a equação diferencial

x 2 - 1 y ' ' + 4 x y ' + 2 y = 0 .

  1. Encontre a solução geral da EDO acima.
  2. Encontre a solução do PVI com y 0 = 1 e y ' 0 = 1 . Encontre a soma da série obtida.

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Questão 3: Considere a seguinte EDO.

x 2 - 2 x + 2 y ' ' + x - 1 y ' + x 2 - 2 x + 1 y = 0

  1. Mostre que x 0 = 1 é ponto ordinário desta equação.
  2. Determine a relação de relação de recorrência das séries desta equação em torno deste ponto.
  3. Determine os primeiros 3 coeficientes não nulos da solução que satisfaz y 1 = 0 e y ' 1 = 1 .

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Sendo x 0 = 0 um ponto ordinário da EDO y ' ' - x y ' - y = 0 , sabemos que a mesma admite uma solução em série da forma y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n .

(a) (1,5pt) Encontre a relação de recorrência dos coeficientes de a n ;

(b) (1,5pt) Encontre os coeficientes e escreva a solução em sua forma geral;

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1- Considere a equação linear homogênea de segunda ordem

x - 1 y ' ' + y ' = 0

a) Verifique que x = 0 é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação.

b) Encontre a solução geral da equação dada utilizando série de potências ou série de Frobenius em torno de x = 0 .

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Questão 3:

Considere resolver o seguinte problema de valor inicial:

x 2 - 4 y ' ' + 3 x y ' + y = 0 ,         y 0 = 4 ,           y ' 0 = 1

  1. Justifique o uso de série de potências em torno de x = 0 .
  2. Mostre qual é o raio de convergência das séries.
  3. Encontre relação de recorrência entre os coeficientes das séries.

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Questão 4 (Justifique todas as suas respostas):

Determine a solução geral da EDO

4 - x 2 y ' ' + 2 y = 0

Em volta do ponto x 0 = 0 .

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Considere a equação diferencial

x 2 - 1 y ' ' + 8 x y ' + 12 y = 0

Como x = 0 é um ponto ordinário para a equação, encontre a solução em séries de potências ∑ k = 0 ∞ c k x k dado que y 0 = 2 e y ' 0 = 3 . (Obs. Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.)

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Considere o problema de valor inicial abaixo:

y ' ' x + x y ' x + y x = 0 ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0