Enunciado

Em cada um dos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t   →   ∞ .

x ' = 0 0 - 1 2 0 0 - 1 2 4 x ,   x 0 = 7 5 5

Passo 1

Resolvendo os autovalores dessa questão nós temos:

det ⁡ 0 - r 0 - 1 2 0 - r 0 - 1 2 4 - r = 0

Resolvendo a determinante teremos a seguinte equação característica:

r 2 4 - r - 4 + r - 0 - 0 = 0

- r 3 + 4 r 2 + r - 4 = 0

O que nos dá raízes iguais a:

r 1 = 1 ; r 2 = - 1 ; r 3 = 4

Passo 2

O autovetor para r = - 1 será:

0 + 1 0 - 1 2 0 + 1 0 - 1 2 4 + 1 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

1 0 - 1 2 1 0 - 1 2 4 + 1 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Pela primeira linha temos:

ξ 1 - ξ 3 = 0 → ξ 1 = ξ 3

Portanto uma solução seria ξ 1 = ξ 3 = 1

Então pela segunda linha teremos:

2 ξ 1 + ξ 2 = 0 → ξ 2 = - 2 ξ 1

Então como ξ 1 = 1 então ξ 2 = - 2 nos dando um autovetor igual a:

ξ = 1 - 2 1

Então a contribuição para a solução geral causada por esse autovetor será:

x 1 = c 1 1 - 2 1 e - t

Passo 3

Agora para o autovalor r = 1 teremos o seguinte autovetor:

0 - 1 0 - 1 2 0 - 1 0 - 1 2 4 - 1 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Nos dando na primeira linha uma relação igual a:

- ξ 1 - ξ 3 = 0 → ξ 1 = - ξ 3

Uma solução para essa equação seria ξ 1 = 1 e ξ 3 = - 1 , agora para a segunda linha nós teremos:

2 ξ 1 - ξ 2 = 0 → ξ 2 = 2 ξ 1

E como ξ 1 = 1 então ξ 2 = 2 , nos dando então um autovetor igual a:

ξ = 1 2 - 1

Logo a solução causada por esse autovalor será:

x 2 = c 2 1 2 - 1 e t

Passo 4

Agora para r = 4 teremos:

0 - 4 0 - 1 2 0 - 4 0 - 1 2 4 - 4 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Da primeira linha podemos tirar que:

- 4 ξ 1 - ξ 3 = 0 → ξ 3 = - 4 ξ 1

Uma solução para essa equação seria ξ 3 = 4 e ξ 1 = - 1

Então para a terceira linha teríamos

- ξ 1 + 2 ξ 2 = 0 → ξ 1 = 2 ξ 2

E como ξ 1 = - 1 então ξ 2 = - 1 / 2 , para não ficar esse 1 / 2 no nosso autovetor vamos multiplicar todo mundo por 2,logo o autovetor para esse autovalor será:

ξ = - 2 - 1 8

Logo a solução causada por esse autovalor será:

x 3 = c 3 - 2 - 1 8 e 4 t

O que pode ser escrito como:

x 3 = c 3 2 1 - 8 e 4 t

Pois se multiplicarmos - 1 na constante ela continua sendo uma constante, então a solução geral fica:

x = c 1 1 - 2 1 e - t + c 2 1 2 - 1 e t + c 3 2 1 - 8 e 4 t

Passo 5

Agora aplicando as condições iniciais (em t = 0 ) nós teremos:

x 0 = 7 5 5 = c 1 1 - 2 1 e - 0 + c 2 1 2 - 1 e 0 + c 3 2 1 - 8 e 0

7 = c 1 + c 2 + 2 c 3

5 = - 2 c 1 + 2 c 2 + c 3

5 = c 1 - c 2 - 8 c 3

Somando a primeira e a terceira equação nós teremos:

12 = 2 c 1 - 6 c 3 ( 1 )

Agora somando a primeira multiplicada duas vezes e diminuindo da segunda:

14 = 2 c 1 + 2 c 2 + 4 c 3

- 5 = 2 c 1 - 2 c 2 - c 3

9 = 4 c 1 + 3 c 3 ( 2 )

Agora se comparando ( 1 ) com ( 2 ) nós temos:

12 = 2 c 1 - 6 c 3

9 = 4 c 1 + 3 c 3

Multiplicando a segunda por 2

12 = 2 c 1 - 6 c 3

18 = 8 c 1 + 6 c 3

Somando as duas:

30 = 10 c 1 → c 1 = 3

Substituindo esse valor em ( 2 ) temos:

9 - 4 × 3 = 3 c 3 → c 3 = - 1

Agora aplicando em qualquer uma das três equações originais nós teremos:

7 = c 1 + c 2 + 2 c 3

c 2 = 7 - c 1 - 2 c 3 = 7 - 3 + 2 = 6

Deixando nossa solução igual a:

x = 3 1 - 2 1 e - t + 6 1 2 - 1 e t - 2 1 - 8 e 4 t

Exercício puramente transpiratório e algébrico hahaha

Resposta

x = 3 1 - 2 1 e - t + 6 1 2 - 1 e t - 2 1 - 8 e 4 t

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