Enunciado

Em cada um dos Problemas 7 e 8, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais.

x ' = - 3 0 2 1 - 1 0 - 2 - 1 0 x

Passo 1

Encontrando os autovalores dessa matriz nós teremos:

det ⁡ - 3 - r 0 2 1 - 1 - r 0 - 2 - 1 0 - r = 0

- 3 - r - 1 - r - r + 0 - 2 + 4 - 1 - r + 0 + 0

O que nos dá uma equação característica igual a:

- r 3 - 4 r 2 - 7 r - 6 = 0

A única raiz real que conseguiremos é r = - 2

As outras duas complexas serão:

r 2 ; r 3 = - 1 ± 2 i

Passo 2

A partir desses valores vamos encontrar o autovetor associado a r = - 2 , ou seja:

- 3 + 2 0 2 1 - 1 + 2 0 - 2 - 1 0 + 2 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

- 1 0 2 1 1 0 - 2 - 1 2 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Da primeira linha nós temos:

- ξ 1 + 2 ξ 3 = 0

2 ξ 3 = ξ 1

E da segunda linha temos:

ξ 1 + ξ 2 = 0 → ξ 1 = - ξ 2

Para a primeira linha uma boa solução seria ξ 1 = 2 e ξ 3 = 1 , e como ξ 1 = 2 a solução para ξ 2 seria ξ 2 = - 2 , nos dando um autovetor igual a:

ξ = 2 - 2 1

Nos dando uma solução por esse autovalor igual a:

x 1 = c 1 2 - 2 1 e - 2 t

Passo 3

Agora para r = - 1 - 2 i nós teremos:

- 3 + 1 + 2 i 0 2 1 - 1 + 1 + 2 i 0 - 2 - 1 0 + 2 + 1 + 2 i ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

O que nos dá:

- 2 + 2 i 0 2 1 2 i 0 - 2 - 1 3 + 2 i ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Da segunda linha nós podemos tirar que:

ξ 1 + 2 i ξ 2 = 0

Uma solução para essa equação seria ξ 1 = 2 i e ξ 2 = - 1 . E para a primeira linha podemos tirar que:

2 ξ 3 + - 2 + 2 i ξ 1 = 0

E como ξ 1 = 2 i então:

2 ξ 3 + - 2 + 2 i 2 i = 0

2 ξ 3 - 2 2 i + 2 i 2 = 0

2 ξ 3 = 2 2 i + 2 → ξ 3 = 1 + 2 i

Então o autovetor para esse autovalor será:

ξ = 2 i   - 1 1 + 2 i

O que nos dá uma solução (por parte desse autovalor) igual a:

x 2 = 2 i   - 1 1 + 2 i e - 1 + 2 i t = 2 i   - 1 1 + 2 i e - t   e - 2 i t

Sem colocar as constantes nesse momento.

E como e a i t = cos ⁡ α t + i   s e n   ( α t ) , então e - 2 i t = cos ⁡ - 2 t + i s e n - 2 t = cos ⁡ 2 t - i   s e n 2 t , uma vez que cosseno é uma função par e seno uma função ímpar.

Logo a solução pode ser escrita como:

x 2 = 2 i   - 1 1 + 2 i e - t   cos ⁡ 2 t - i   s e n 2 t

Reescrevendo essa solução nós teremos:

x 2 = 2 s e n   ( 2 t )   - cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t + 2 s e n 2 t e - t + i 2 cos ⁡ 2 t   + s e n ( 2 t ) - s e n ( 2 t ) + 2 cos ⁡ 2 t e - t

Então a solução imaginária pode ser escrita como:

x 2 = c 2 2 s e n   ( 2 t )   - cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t + 2 s e n 2 t e - t + c 3 2 cos ⁡ 2 t   + s e n ( 2 t ) - s e n ( 2 t ) + 2 cos ⁡ 2 t e - t

Essa é a hora de colocarmos as constantes.

Nos dando então uma solução geral total igual a:

x = c 1 2 - 2 1 e - 2 t + c 2 2 s e n   2 t - cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t + 2 s e n 2 t e - t

+ c 3 2 cos ⁡ 2 t   + s e n ( 2 t ) - s e n ( 2 t ) + 2 cos ⁡ 2 t e - t

Coisinha pequena e fofa

Resposta

x = c 1 2 - 2 1 e - 2 t + c 2 2 s e n   2 t - cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t + 2 s e n 2 t e - t

+ c 3 2 cos ⁡ 2 t   + s e n ( 2 t ) - s e n ( 2 t ) + 2 cos ⁡ 2 t e - t

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