Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto x 0 . Determine também, o raio de convergência da série.

12.

x 2 ,         x 0 = - 1

Passo 1

Fala galera!!!

O problema nos forneceu a seguinte função:

f x = x 2

no ponto x 0 = - 1 .

Nosso objetivo, é obter a série de Taylor da função dada sobre o ponto  x 0 , e também, determinar o raio de convergência da série.

Passo 2

No livro, podemos encontrar que a série de Taylor de uma função  f x sobre o ponto  x 0 é dada por:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 1 1 ! + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 ! + f ' ' ' x 0 x - x 0 3 3 ! + …

Ou seja:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n x 0 n ! x - x 0 n

Passo 3

Tendo em mente o que foi dito acima, vamos calcular os primeiros termos da série de Taylor para a função dada, com o objetivo de encontrar um termo geral que define a série. Assim temos:

f x = x 2 → f x 0 = - 1 2 = 1

f ' x = d d x x 2 = 2 x → f ' x 0 = 2 - 1 = - 2

f ' ' x = d d x 2 x = 2 → f ' ' x 0 = 2

f ' ' ' x = d d x 2 = 0 → f ' ' ' x 0 = 0

f 4 x = d d x 0 = 0 → f 4 x 0 = 0

A partir desse ponto podemos ver que os termos da série apresentação um padrão.

Passo 4

Assim, temos que a serie fica da seguinte forma:

f x = f - 1 + f ' - 1 x - - 1 1 1 ! + f ' ' - 1 x - - 1 2 2 ! + f ' ' ' - 1 x - - 1 3 3 ! + f 4 - 1 x - - 1 4 4 ! + …

Substituindo, temos:

f x = 1 + - 2 x + 1 1 1 ! + 2 x + 1 2 2 ! + 0 x + 1 3 3 ! + 0 x + 1 4 4 ! + …

f x = 1 + - 2 x + 1 1 1 ! + 2 x + 1 2 2 ! + 0 x + 1 3 3 ! + 0 x + 1 4 4 ! + …

f x = 1 - 2 x + 1 + x + 1 2 + 0 + 0 + …

Logo, podemos escrever a f x da seguinte maneira:

x = 1 - 2 x + 1 + x + 1 2

Assim, a representação da série Taylor para a f x é  1 - 2 x + 1 + x + 1 2 .

Passo 5

Como a série possui apenas um número limitado de termos, converge absolutamente para todos os x.

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = ∞ .

Resposta

x = 1 - 2 x + 1 + x + 1 2

ρ = ∞

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