Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta.

y ' ' + 3 y ' = 0 ,     y 0 = - 2 ,     y ' 0 = 3

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Para o problema de valor inicial, usaremos as condições iniciais para chegar no sistema que nos dará os valores das constantes.

Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 + 3 r ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 + 3 r = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = - 3 ± 9 2

Tendo como raízes r 1 = 0   e r 2 = - 3   . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 + c 2 ⋅ e - 3 t

Passo 3

Aplicando as condições de contorno:

y 0 = - 2 ,     y ' 0 = 3

Temos que nossas constantes serão dadas por:

y 0 = c 1 + c 2 ⋅ e - 3 0 = - 2

c 1 + c 2 = - 2

E:

y ' 0 = - 3 c 2 e - 3 0 = 3

- 3 c 2 = 3 → c 2 = - 1

Substituindo esse valor na primeira relação:

c 1 - 1 = - 2

c 1 = - 1

Assim nossa equação que satisfaz a EDO é

y = - 1 - e - 3 t

E o gráfico é algo desse tipo

onde y cresce quando t aumenta.

Resposta

y = - 1 - e - 3 t

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