Enunciado

Resolva o problema de valor de contorno, se possível.

y ' ' + 4 y ' + 20 y = 0 ,               y 0 = 1             e           y π = e - 2 π

Passo 1

O problema pede para resolvermos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, o primeiro passo é escrever a equação característica:

r 2 + 4 r + 20 = 0

Resolvendo essa equação

r = - 4 ± 16 - 80 2 = - 4 ± 8 i 2 = - 2 ± 4 i

Passo 2

Quando as raízes da equação característica não são reais, a solução da equação diferencial é

y = e a x   ( c 1 cos ⁡ b x + c 2   s e n   b x ,

onde a e b são a parte real e imaginárias das raízes:

r = a ± b i

Neste caso, a = - 2 e b = 4 . Assim, a solução da EDO é

y = e - 2 x   c 1 cos ⁡ 4 x + c 2   s e n   4 x

Passo 3

Agora vamos tentar achar c 1 e c 2 usando as condições de contorno. Para y 0 = 1 :

e 0   c 1 cos ⁡ 0 + c 2   s e n   0 = 1 ⇒ c 1 = 1

Já para y π = 2 :

e - 2 π c 1 cos ⁡ 4 π + c 2   s e n   4 π = e - 2 π

Portanto,

c 1   e - 2 π = e - 2 π ⇒ c 1 = 1

Apesar de termos achado valores iguais para c 1 , não é possível achar c 2 . Sendo assim, a equação diferencial não admite solução com os valores de contorno fornecidos.

Resposta

Não há solução!

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