Enunciado

Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.

28. ∫ 0 ∞ e - t c o s t   d t

Passo 1

Vamos substituir o infinito na integral por A e depois a gente aplica o limite para A → ∞ :

∫ 0 A e - t c o s t   d t

Podemos usar a regra da cadeia para resolver essa integral:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar e - t de u e c o s t de d v . Nossa integral então vai ser:

∫ 0 A e - t c o s t   d t = e - t s e n t A 0 + ∫ 0 A e - t s e n t   d t

Passo 2

Agora a gente aplica os limites de integração no termo do meio:

e - t s e n t A 0 = e - A s e n A - e - 0 s e n 0 = e - A s e n A

E aplicamos o limite para A → ∞ :

lim A → ∞ ⁡ e - A s e n A = 0

Como dá para ver, pelo fato da função seno ser limitada e a função exponencial tender para zero, o produto todo tende para zero. Então só sobra o seguinte na integral do passo anterior:

∫ 0 A e - t c o s t   d t = ∫ 0 A e - t s e n t   d t

Passo 3

Vamos então aplicar mais uma vez o método de integração por partes, chamando e - t de u e s e n t de d v :

∫ 0 A e - t c o s t   d t = ∫ 0 A e - t s e n t   d t = - e - t c o s t A 0 - ∫ 0 A e - t c o s t   d t

Passando a última integral para o lado esquerdo, fica:

2 ∫ 0 A e - t c o s t   d t = - e - t c o s t A 0

E passando o 2 dividindo:

∫ 0 A e - t c o s t   d t = - e - t 2 c o s t A 0

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 A e - t c o s t   d t = - e - A 2 c o s A - - e - 0 2 c o s 0

∫ 0 A e - t c o s t   d t = - e - A 2 c o s A + 1

E fazendo o limite para A → ∞ , a exponencial tende para zero enquanto a função cosseno é limitada, então o produto tende a zero, sobrando só:

∫ 0 ∞ e - t c o s t   d t = 1

E a integral converge.

Resposta

C o n v e r g e

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