Enunciado

Em cada um dos Problemas de 36 a 39, use o método do Problema 35 para resolver a equação diferencial dada.

y ' ' + 2 y ' + y = 2 e - t

Passo 1

Primeiro, encontraremos a solução para a equação característica:

y ' ' + 2 y ' + y = 2 e - t

Analisando a parte homogênea temos:

y ' ' + 2 y ' + y = 0

Reescrevendo:

r 2 + 2 r + 1 = 0

r + 1 2

r 1 = - 1

r 2 = - 1

Podemos escrever a solução homogênea como:

y c = c 1 e - t + c 2 t e - t

Passo 2

De acordo com o problema 35, a equação na forma y ' ' + b y ' + c y = g ( t ) pode ser reescrita como D - r 1 D - r 2 y = g ( t ) , se r 1 + r 2 = - b e r 1 r 2 = c .

A solução da equação pode ser resolvida com duas equações de primeira ordem:

D - r 1 u = g t ,       D - r 2 y = u ( t )

Se b = 2 ,   c = 1 ,   g t = 2 e - t

Então: r 1 + r 2 = - 2 ,   r 1 r 2 = 1

Resolvendo as duas equações simultaneamente, podemos dizer que :

r 1 = 1 ,   r 2 = 1

Agora, vamos resolver primeiro a equação de primeira ordem:

D - r 1 u = g t

D + 1 u = 2 e - t

d u d t + u = 2 e - t

Integrando podemos ter que, onde p t = 1 que é uma das raizes :

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ d t = e t

Multiplicando a equação pelo fator integrante.

d u d t e t + u e t = 2

Isolando:

u e t ' = 2

Integrando de ambos os lados:

u e t = 2 t

u = 2 t e - t

Passo 3

Agora, resolvemos a outra equação:

D - r 2 y = u t

D + 1 y = 2 t e - t

d y d t + y = 2 t e - t

Onde p t = 1 que é a outra raiz, resolvendo a equação pelo fator integrante :

μ t = e ∫ p t d t = e ∫ 1 d t = e t

Multiplicando a equação pelo fator integrante, temos:

d y d t e t + y e t = 2 t

y e t ' = 2 t

Integrando dos dois lados:

y e t = t 2

Y t = t 2 e - t

A solução y = y c + Y ( t ) :

y = c 1 e - t + c 2 t e - t + t 2 e - t

Resposta

y = c 1 e - t + c 2 t e - t + t 2 e - t

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