Enunciado

Em cada um dos problemas de 48 a 51, resolva o problema de valor inicial dado usando os métodos dos problemas de 36 a 47.

y ' ⋅ y ' ' - t = 0 ,     y 1 = 2 ,     y ' 1 = 1

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando y ' = v y e y ' ' = v ' y , temos que nossa equação fica como:

v ' ⋅ v = t

v ⋅ d v = t ⋅ d y

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

v 2 2 = t 2 2 + k 1

Aplicando a primeira condição de contorno, temos que:

1 2 = 1 2 + k 1

k 1 = 0

Temos então que nossa equação fica

v = t

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v = t

d y d t = t

d y = t ⋅ d t

y = t 2 2 + k 2

Aplicando a condição de contorno, temos que:

2 = 1 2 + k 2

k 2 = 3 2

y = t 2 2 + 3 2

Sendo essa nossa solução para a equação.

Resposta

y = t 2 2 + 3 2

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