Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ϕ ″ ( x 0 ) ,   ϕ ‴ ( x 0 ) e   ϕ 4 ( x 0 ) para o ponto dado x 0 , se y   =   ϕ ( x 0 ) é uma solução do problema de valor inicial dado.

y ' ' + x 2 y ' + sen ⁡ x y = 0 ;       y 0 = a 0 ,     y ' 0 = a 1 .

Passo 1

Temos que saber se o ponto x 0 dado é uma solução do PVI.

Se x 0 = 0 , então nosso valor de ϕ deve ser aplicado na EDO dada:

y ' ' + x 2 y ' + sen ⁡ x y = 0

Aplicando:

ϕ ' ' 0 + 0 2 ϕ ' ( 0 ) + 0 . ϕ ( 0 ) = 0

Então:

ϕ ' ' 0 = 0

Passo 2

O exercício pede para determinar algumas derivadas, então diferenciando a equação:

ϕ ' ' ' + 2 x ϕ ' + x 2 ϕ ' ' + cos ⁡ x ϕ + sen ⁡ x ϕ ' = 0

ϕ ' ' ' + x 2 ϕ ' ' + 2 x + sen ⁡ x ϕ ' + cos ⁡ x ϕ = 0

ϕ ' ' ' 0 + 0 + 0 + 1 + 1 . a 0 = 0

ϕ ' ' ' 0 = - a 0

Passo 3

Diferenciando novamente para encontrar ϕ 4 :

ϕ 4 + 2 x ϕ ' ' + x 2 ϕ ' ' ' + 2 + cos ⁡ x ϕ ' + 2 x + sen ⁡ x ϕ ' ' - sen ⁡ x ϕ + cos ⁡ x ϕ = 0

ϕ 4 + x 2 ϕ ' ' ' + 4 x + sen ⁡ x ϕ ' ' + 2 + 2 cos ⁡ x ϕ ' - sen ⁡ x ϕ = 0

ϕ 4 + 0 + 0 + 4 a 1 - 0 = 0

ϕ 4 = - 4 a 1

Resposta

ϕ ' ' 0 = 0 ;     ϕ ' ' ' 0 = - a 0 ;     ϕ 4 = - 4 a 1

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