Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 17:

(a) Mostre que x   =   0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada.

(b) Encontre os expoentes no ponto singular x   =   0 .

(c) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de x   =   0 .

x y ″ +   y   =   0

Passo 1

(a) Sendo a nossa equação:

x y ″   +   y   =   0

A partir da equação dada podemos dizer que: P ( x ) = x , Q ( x ) = 0 e R x = 1 .

Onde o único ponto singular é x 0 = 0 .

Aplicando nas condições de singularidade, teremos:

lim x → x 0 ⁡ ( x - x 0 ) Q x P x = lim x → 0 ⁡ x 0 x = lim x → 0 ⁡ 0 = 0 ( = p 0 )  

E também:

lim x → x 0 ⁡ ( x - x 0 ) 2 R x P ( x ) = lim x → 0 ⁡ x 2 1 x = lim x → 0 ⁡ x = 0 ( = q 0 ) ⁡  

Então, ambos os limites são finitos e x 0 = 0 é um ponto singular da EDO.

Passo 2

(b) Como ambos são finitos ,   x 0 = 0 é um ponto singular regular da equação diferencial fornecida. Como p 0 = 0 e q 0 = 0 , a equação indical correspondente é:

F ( r ) = r ( r - 1 ) + p 0 r   + q 0

= r r - 1

Onde as raízes correspondem a r 1 = 1 e r 2 = 0 .

Passo 3

(c) Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:

y 1 x = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n r 1 x n = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n 0 x n  

Os coeficientes a n ( 0 ) , além de a 0 ( 0 ) = 1 , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de r   =   r 1 .

n ( n + 1 ) a n 1 + ∑ k = 0 n - 1 a k 1 ( k + 1 ) p n - k + q n - k = 0

Onde:

∑ n = 0 ∞ p n x n = x p ( x ) = 0

E:

∑ n = 0 ∞ q n x n = x 2 q ( x ) = x

Respectivamente, conseguimos dizer que:

  p n = 0

q 1 = 1 ,   q n = 0

Fatorando a n ( 0 ) , teremos:

a n 1 = - ∑ k = 0 n - 1 a k 1 [ ( k + 1 ) p n - k + q n - k ] n ( n + 1 )

Com o primeiro par de elementos:

a 1 1 = - a 0 ( 1 ) ( p 1 + q 1 ) 1.2 = - 1 2

a 2 1 = - [ a 0 ( p 2 + q 2 ) + a 1 1 2 p 1 + q 1 ] 2.3 = - ( 0 - 1 2 . 1 ) 6 = 1 12

a 3 0 = - [ a 0 ( p 3 + q 3 ) + a 1 1 2 p 2 + q 2 + a 2 1 3 p 1 + q 1 ] 3.4 = - ( 0 - 1 2 . 0 + 1 12 0 + 1 ) 12 = - 1 144

Por indução matemática, a primeira solução é:

y 1 x = 1 x - 1 2 x 2 + 1 12 x 3 - 1 144 x 4 + …  

Passo 4

Já encontramos y 1 agora precisamos encontrar y 2 .

Pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:

y 2 x = a y 1 x ln ⁡ x + x r 2 ∑ n = 1 ∞ c n r 2 x n

= a y 1 x ln ⁡ x + 1 + ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

a = lim r → r 2 ( ⁡ r - r 2 ) a N ( r ) ,   N = r 1 - r 2        

Onde N = 1 :

a N r = a 1 R = - ∑ k = 0 N - 1 a k [ r + k p N - k + 1 N - k ] ( r + N - 1 ) ( r + N ) = - 1 r ( r + 1 )   ⁡

a = lim r → 0 ⁡ r - 1 r ( r + 1 ) = - 1

Tendo determinado c n , substituímos na equação diferencial os valores para y 2 '   e   y 2 ' ' :

y 2 ' = a y 1 ' x ln ⁡ x + a y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n c n 0 x n - 1  

y 2 ' ' x = a y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 a y 1 ' x x - a y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 2

Passo 5

Substituindo nas equações, nós temos que:

x y ″ +   y   =   0

Substituindo teremos:

= x a y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 a y 1 ' x x - a y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 2 +

a y 1 x ln ⁡ x + 1 + ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

Reorganizando:

= a ln ⁡ x x y 1 ' ' + y 1 + 2 a y 1 ' - a y 1 x + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 1 + 1 + ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

= 2 a 1 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 a n 1 x n - a x 1 + ∑ n = 1 ∞ a n 1 x n 1 x + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 1 + 1 + ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

= 1 + a + a ∑ n = 1 ∞ ( 1 + 2 n ) a n 1 x n + ∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) c n + 1 0 x n + ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

= 1 + a + ∑ n = 1 ∞ a 1 + 2 n a n 1 + n n + 1 c n + 1 0 + c n 0 x n

= ∑ n = 1 ∞ - 1 + 2 n a n 1 + n n + 1 c n + 1 0 c n 0 x n = 0

Passo 6

Igualando os coeficientes de ambos os lados em na equação encontrada no passo anterior, obtemos:

c n + 1 0 = 1 + 2 n a n 1 - c n ( 0 ) n ( n + 1 )

c n 0 = 2 n - 1 a n - 1 1 - c n - 1 ( 0 ) n ( n - 1 )

Se não há condição para c 1 ( 0 ) , então c 1 0 = 0 , isso implica que:

c 2 0 = 3 a 1 1 - c 1 ( 0 ) 2 = 3 - 1 2 2 = - 3 4

c 3 0 = 5 a 2 1 - c 2 ( 0 ) 3.2 = 5 1 12 + 3 4 6 = 7 36

c 4 0 = 7 a 3 1 - c 3 ( 0 ) 4.3 = 7 - 1 144 - 7 36 12 = - 35 1728

Portanto, a segunda condição será:

y 2 x = - y 1 x ln ⁡ x + 1 - 3 4 x 2 + 7 36 x 3 - 35 1728 x 4 + …

Resposta

Se r 1 = 1   ,   r 2   = 0 .

(c) y 1 x = 1 x - 1 2 x 2 + 1 12 x 3 - 1 144 x 4 + …   , y 2 x = - y 1 x ln ⁡ x + 1 - 3 4 x 2 + 7 36 x 3 - 35 1728 x 4 + …

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