Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y'' + 2y' + 5y = 3 \* sen(2t)

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??

Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora!!

Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 3 sin ⁡ 2 t

Uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma geral:

a y ' ' + b y ' + c y = f ( t )

solução geral será a soma dessas duas partes:

y t = y c t + y p t

Sendo que y c t é a solução da EDO homogênea associada.

Já para y p t é a solução particular da EDO.

Para encontrarmos a solução da y c t iremos buscar uma solução da forma:

y h t = e r t

Onde r é uma constante a ser determinada.

Para a solução particular, iremos utilizar o método da suposição, e por termos f t um seno, a solução particular assume a forma:

y p t = A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t

onde A e B são coeficientes a determinar. A razão para essa suposição é que a derivada de senos e cossenos gera mais senos e cossenos, garantindo que ambos ainda apareçam na equação diferencial.

Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:

y t = y c t + y p ( t )

Temos então nossa EDO:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 3 sin ⁡ 2 t

E a sua solução da equação homogênea como y c , substituindo na EDO:

y c ' ' + 2 y c ' + 5 y c = 0

Sendo que terá a forma:

y c = e r t

y c ' = r e r t

y c ' ' = r ² e r t

r 2 + 2 r + 5 = 0

Onde:

Δ = 4 - 4 1 5

Δ = - 16

Por isso teremos raizes complexas:

r = - 1 - 2 i , - 1 + 2 i

E a solução geral da homogenea assume a forma:

y c t = e α t C 3 cos ⁡ β t + C 4 sin ⁡ β t

Substituindo:

y c t = C 3 e - t cos ⁡ 2 t + C 4 e - t sin ⁡ 2 t

Passo 3

Pronto!! Agora precisamos encontrar a solução particular.

Como comentamos, ela tem a forma:

y p t = A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t

Substituindo:

y p ' ' + 2 y p ' + 5 y p = 3 sin ⁡ 2 t

Derivando:

y p ' = - 2 A sin ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t

y p ' ' = - 4 A sin ⁡ 2 t - 4 B sin ⁡ 2 t

Substituindo:

- 4 A sin ⁡ 2 t - 4 B sin ⁡ 2 t + 2 - 2 A sin ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t + 5 A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t = 3 sin ⁡ 2 t

Igualando os coeficientes:

A + 4 B = 0

- 4 A + B =   3

A =   - 12 17

B = 3 17

Sendo assim:

y p t =   - 12 17 cos ⁡ 2 t + 3 17 sin ⁡ 2 t  

E a nossa solução é:

y t =   C 3 e - t cos ⁡ 2 t + C 4 e - t sin ⁡ 2 t - 12 17 cos ⁡ 2 t + 3 17 sin ⁡ 2 t  

Resposta

y t =   C 3 e - t cos ⁡ 2 t + C 4 e - t sin ⁡ 2 t - 12 17 cos ⁡ 2 t + 3 17 sin ⁡ 2 t  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados