Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??
Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora!!
Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação:
Uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma geral:
solução geral será a soma dessas duas partes:
Sendo que é a solução da EDO homogênea associada.
Já para é a solução particular da EDO.
Para encontrarmos a solução da iremos buscar uma solução da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.
Para a solução particular, iremos utilizar o método da suposição, e por termos um seno, a solução particular assume a forma:
onde e são coeficientes a determinar. A razão para essa suposição é que a derivada de senos e cossenos gera mais senos e cossenos, garantindo que ambos ainda apareçam na equação diferencial.
Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??
Passo 2
Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos a seguinte relação:
Temos então nossa EDO:
E a sua solução da equação homogênea como , substituindo na EDO:
Sendo que terá a forma:
Onde:
Por isso teremos raizes complexas:
E a solução geral da homogenea assume a forma:
Substituindo:
Passo 3
Pronto!! Agora precisamos encontrar a solução particular.
Como comentamos, ela tem a forma:
Substituindo:
Derivando:
Substituindo:
Igualando os coeficientes:
Sendo assim:
E a nossa solução é: