Enunciado

Em cada um dos problemas de 6 a 9, encontre os coeficientes da expansão em autofunções da função dada, usando as autofunções normalizadas do Problema 1.

Passo 1

Escrevendo aqui a autofunção encontrada no problema 1 nós teremos:

ϕ n = 2 sin ⁡ λ x ; p a r a   n = 1,2 , 3 , …  

Para λ = 2 n - 1 π 2 , com isso nossa integral para o termo a n no intervalo dado nós teremos:

a n = ∫ 0 1 2 2 2 x sin ⁡ λ x d x   + ∫ 1 2 1 2 sin ⁡ λ x d x  

A integral por partes igual a x s i n ( n x ) será igual a:

∫ x sin ⁡ n x d x = - 1 n x c o s n x + 1 n 2 s i n ⁡ ( n x )

Então como n = λ , nós teremos o seguinte resultado:

a n = 2 2 - 1 λ x c o s λ x + 1 λ sin ⁡ λ x 0 1 2 + 2 λ - cos ⁡ λ x 1 2 1

a n = 2 2 - 1 2 λ c o s λ 2 + 1 λ sin ⁡ λ 2 + 2 λ cos ⁡ λ 2 - cos ⁡ λ

a n = 2 2 λ s i n λ 2 - 2 λ cos ⁡ λ

Só que vimos na questão 1 que cos ⁡ λ = 0 , logo:

a n = 2 2 λ s i n λ 2

Como λ = 2 n - 1 π 2 então:

a n = 8 2 2 n - 1 2 π 2 sin ⁡ 2 n - 1 π 4

Resposta

a n = 8 2 2 n - 1 2 π 2 sin ⁡ 2 n - 1 π 4

Para n = 1,2 , …

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