Enunciado

Em cada um dos problemas de 6 a 9, encontre os coeficientes da expansão em autofunções da função dada, usando as autofunções normalizadas do Problema 1.

Passo 1

Escrevendo aqui a autofunção encontrada no problema 1 nós teremos:

ϕ n = 2 sin ⁡ λ x ; p a r a   n = 1,2 , 3 , …  

Para λ = 2 n - 1 π 2 , com isso nossa integral para o termo a n no intervalo dado nós teremos:

a n = ∫ 0 1 2 2 2 x sin ⁡ λ x d x   + ∫ 1 2 1 2 sin ⁡ λ x d x  

A integral por partes igual a x s i n ( n x ) será igual a:

∫ x sin ⁡ n x d x = - 1 n x c o s n x + 1 n 2 s i n ⁡ ( n x )

Então como n = λ , nós teremos o seguinte resultado:

a n = 2 2 - 1 λ x c o s λ x + 1 λ sin ⁡ λ x 0 1 2 + 2 λ - cos ⁡ λ x 1 2 1

a n = 2 2 - 1 2 λ c o s λ 2 + 1 λ sin ⁡ λ 2 + 2 λ cos ⁡ λ 2 - cos ⁡ λ

a n = 2 2 λ s i n λ 2 - 2 λ cos ⁡ λ

Só que vimos na questão 1 que cos ⁡ λ = 0 , logo:

a n = 2 2 λ s i n λ 2

Como λ = 2 n - 1 π 2 então:

a n = 8 2 2 n - 1 2 π 2 sin ⁡ 2 n - 1 π 4

Resposta

a n = 8 2 2 n - 1 2 π 2 sin ⁡ 2 n - 1 π 4

Para n = 1,2 , …

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →