Lista de Exercícios Resolvidos de Problemas de Autovalor

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Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado.

y ' ' + λ y = 0

y ' 0 = 0 ,     y 1 = 0

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Determinar para quais valores de λ ∈   R o seguinte problema de valor de contorno admite soluções não triviais (não identicamente nulas):

y ' ' x - 2 y x = λ y x ,           0 < x < 1 / 2 y ' 0 = y 3 = 0

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Quando uma carga constante P é aplicada a uma longa coluna delgada de seção transversa uniforme e comprimento L , a coordenada y de um ponto de sua curva de deflexão é dada por

E I d 2 y d x 2 + P y = 0

Onde as constantes E   e   I são, respectivamente, o módulo de Young e o momento de inercia da seção transversa. Veja a figura. Se a coluna é impedida de rotar em seu topo e em sua base, as condições de contorno são y 0 = 0 e y L = 0 .

a) Mostre que esse problema de valores de contorno indica que a coluna não verga, a menos que a carga P tenha um dos valores P n = n 2 π 2 L 2 E I ,   n = 1,2 , 3 , … Essas diferentes cargas são chamadas de cargas críticas.

b) Mostre que a curva de deflexão correspondente à mais baixa carga crítica P 1 = π 2 L 2 E I , chamada carga de Euler, é y 1 x = c sen ⁡ ( π x L ) . Então y 1 ( x ) é chamado primeiro modo de deformação.

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Determinar para quais valores de λ   ϵ   R o seguinte problema de valor de contorno admite soluções não triviais (não identicamente nulas):

y ' ' x - 2 y x = λ y x ,           0 < x < 3 y ' 0 = y 3 = 0

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Supondo λ ∈ R encontre as soluções do problema

X ' ' + λ X = 0 ,           0 < x < L X ' 0 = 0                         X ' L = 0

Estudando os 3 casos, λ > 0 , λ = 0 , λ < 0 .

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Encontre as autofunções e autovalores do problema

y ' ' - 2 y ' = λ y ,   y 0 = y 2 π = 0

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Supondo L > 0 , determine todos os autovalores reais λ as respectivas autofunções X ( x ) do problema de valor de contorno abaixo.

X ' ' + λ X = 0 X 0 = 0 X ' L = 0

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Encontre as autofunções e autovalores do problema

x 2 y ' ' + x y ' + λ y = 0 y 1 = y e = 0

(Dica: use a equação de Euler)

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(I)Encontre todos os valores de λ ∈ R e todas as soluções associadas, para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno

y ' ' + λ y ' + 4 y = 0 ,     y 0 = y 2 = 0

(ii) Para quais valores de L > 0 , não existe nenhuma solução não-trivial do problema de contorno

y ' ' + λ y ' + 4 y = 0 ,     y 0 = y L = 0

Para qualquer valor de λ ∈ R

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Determine todos os valores de   λ para os quais o seguinte problema de EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução não trivial.

Y " ( y )   -   λ Y   ( y )   =   0  

Y ' ( 0 )   =   0 ;   Y '   ( 2 )   =   0 .

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Encontre todos os valores de λ para os quais existem soluções não triviais da seguinte equação de Euler com condições de contorno.

x 2 y ' ' + λ 4 y = 0 , y 1 = 0 ,     y 4 = 0

Quais são as soluções não triviais?

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Determine todos os valores de λ para os quais o seguinte problema de EDO com condições de contorno tem ao menos uma solução diferente de zero.

u x x = λ u u 0 = 0 u x 2 = 0

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4- Na solução do problema de Valor inicial e de Contorno para a equação do calor numa barra de comprimento π com condições de contorno u 0 ,   t = u x π , t = 0 , para todo t > 0 (barra isolada numa extremidade e mantida a zero graus na outra), pelo método de separação de variáveis, precisamos resolver o seguinte problema de autovalores e autofunções:

- X ' ' = λ X ,       0 < x < π , X 0 = 0 ,   X ' π = 0

Determine uma sequência de autovalores e autofunções associados para este problema, ou seja, encontre uma sequência de funções X 1 ,   X 2 …   não nulas tais que λ 1 < λ 2 < … , - X n ' ' x = λ n X n x para todo x ∈ 0 ,   π , X n 0 = 0 e X ' π = 0 .

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Determine todos os valores de λ   ϵ   R   (e todas as soluções correspondentes), para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno:

y ' ' x - λ   y ' x + 2   y x = 0   y 0 = 0 ,     y 2 π = 0

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Encontre as autofunções e autovalores do problema

x 2 y ' ' + x y ' = λ y y 1 = y 2 = 0

(Dica: use a equação de Euler)

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Resolva o seguinte problema de autovalores (Obs.: todas as possibilidades de λ devem ser analisadas.)

y ' ' + λ y = 0

y ' 0 = 0 ,           y L = 0

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