Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 1 3 3 - 1 x + e t 3 e - t  

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 1 3 3 - 1 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 1 - r 3 3 - 1 - r

det ⁡ A - r I = r 2 - 4

Tendo as raízes:

r 1,2 = ± 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 2 , temos:

A - r I ξ = 0

- 1 3 3 - 3 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 = 3 ξ   2

Para r = 2 :

ξ 1 = 3 1

x 1 t = 3 1 ∙ e 2 t

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 2 , temos:

A - r I v = 0

3 3 3 1 ∙ v v ' = 0

Reduzindo o sistema para:

v = v ' 3

Para r = - 2 :

v = 1 - 3

x 2   = 1 - 3 e - 2 t

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

x = c 2 3 1 ∙ e 2 t + c 1 1 - 3 e - 2 t

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz T que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de T .

T = 3 1 1 - 3

Determinado a aí inversa de T , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

T - 1 = - 1 4 - 3 - 1 - 1 3

Tendo x = T y , assumindo e t 3 e - t   = g t substituiremos na equação inicial:

x ' = A x + g t

T y ' = A T y + g t

Multiplicando toda equação por T - 1 temos:

T - 1 T y ' = T - 1 A T y + T - 1 g t

Resultando em:

y ' = D y + h t

Em que D é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e h t = T - 1 g t .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

y ' = D y + T - 1 g t

y ' = 2 0 0 - 2 y + - 1 4 - 3 - 1 - 1 3 e t 3 e - t  

y ' = 2 0 0 - 2 y 1 y 2 + 3 4   1 4 1 4 3 4 e t 3 e - t  

Passo 3

Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.

y ' = 2 0 0 - 2 y 1 y 2 + 3 4   1 4 1 4 3 4 e t 3 e - t  

Temos que y 1 :

y 1 ' = 2 y 1 + 3 4 e t + 3 4 e - t

Tendo como:

y 1 ' - 2 y 1 = 3 4 e t + 3 4 e - t

Temos nossa equação escrita da seguinte forma:

y ' + p t y = q t

Executando fator de integração:

u t = e ∫ p t d t

u t = e - 2 t

Agora multiplicando o fator u t pela equação, temos:

e - 2 t y 1 ' - 2 y 1 = e - 2 t 3 4 e t + 3 4 e - t

d d t e - 2 t y 1 = 3 4 e - t + 3 4 e - 3 t

e - 2 t y 1 = 3 4 e - t + 3 4 e - 3 t + c 1

Portanto y 1 fica:

y 1 = - 3 4 e t + 1 4 3 e - t + c 1 e 2 t

Repetindo os mesmos passos para y 2 , temos:

y 2 = 1 12 e t - 3 4 e - t + c 2 e - 2 t

Tendo resultado final como:

x = T ∙ y 1 y 2  

x = 3 1 1 - 3 ∙ - 3 4 e t + 1 4 3 e - t + c 1 e 2 t 1 12 e t - 3 4 e - t + c 2 e - 2 t  

Efetuando a multiplicação temos:

x = c 1 3 1 e 2 t + c 2 1 - 3 e 2 t + - 2 3 e t - e - t - 1 3 e t + 2 3 e - t

Resposta

x = c 1 3 1 e 2 t + c 2 1 - 3 e 2 t + - 2 3 e t - e - t - 1 3 e t + 2 3 e - t

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