Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 4 - 2 8 - 4 x + t - 3 - t - 2

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 4 - 2 8 - 4 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 4 - r - 2 8 - 4 - r

det ⁡ A - r I = r 2

Tendo as raízes:

r 1,2 = 0

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 0 , temos:

A - r I ξ = 0

4 - 2 8 - 4 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

4 ξ 1 = 2 ξ   2

Para r = 0 :

ξ 1 = 1 2

Vamos agora determinar o autovetor associado a segunda solução do sistema homogêneo. Perceba que neste caso possuímos autovalores repetidos portanto, temos eu encontrar outro autovetor que satisfaça o primeiro autovetor, colocando r = 0 , temos:

A - r I v = ξ

4 - 2 8 - 4 ∙ v v ' = 1 2

Reduzindo o sistema para:

4 v - 2 v ' = 1

Para r = 0 :

v = 0 - 1 / 2

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

x = c 1 1 2 + c 2 1 2 t + 0 - 1 2

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz T que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de T .

T = 1 0 2 - 1 / 2

Determinado a aí inversa de T , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

T - 1 = - 2 - 1 2 0 - 2 1 = 1 0 4 - 2

Tendo x = T y , assumindo t - 3 - t - 2 = g t substituiremos na equação inicial:

x ' = A x + g t

T y ' = A T y + g t

Multiplicando toda equação por T - 1 temos:

T - 1 T y ' = T - 1 A T y + T - 1 g t

Resultando em:

y ' = D y + h t

Em que D é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e h t = T - 1 g t .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

y ' = D y + T - 1 g t

y ' = 0 0 0 0 y + 1 0 4 - 2 t - 3 - t - 2

y ' = 0 0 0 0 y 1 y 2 + t - 3 4 t - 3 + 2 t - 2

Perceba que estamos tendo um sério problema, pois nossos coeficientes não homogêneos estão zerando, bem para solucionar isto podemos resolver a equação utilizando a forma de Jordan da matriz:

J = T - 1 A T = 0 1 0 0

Portanto podemos escrever a solução da seguinte forma:

y ' = 0 1 0 0 y 1 y 2 + t - 3 4 t - 3 + 2 t - 2

Passo 3

Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.

y 1 ' y 2 ' = 0 1 0 0 y 1 y 2 + t - 3 4 t - 3 + 2 t - 2

Temos que y 1 ’:

y 1 ' = y 2 + t - 3

Tendo y 2 ' :

y 2 ' = 4 t - 3 + 2 t - 2 t

Integrando dos dois lados da equação, y 2 fica:

y 2 = - 2 t - 2 - 2 t - + c 2

Agora substituindo em y 1 ' , temos:

y 1 ' = - 2 t - 2 - 2 t - + c 2 + t - 3

Integrando dos dois lados de y 1 ' , temos:

y 1 = c 1 + 2 t - 1 - 2 ln ⁡ t + c 2 t - t - 2 2

Tendo resultado final como:

x = T ∙ y 1 y 2  

x = 1 0 2 - 1 / 2 ∙ c 1 + 2 t - 1 - 2 ln ⁡ t + c 2 t - t - 2 2 - 2 t - 2 - 2 t - + c 2  

Efetuando a multiplicação temos:

x = c 1 1 2 + c 2 t 1 2 + 0 - 1 2 + ln ⁡ t - 2 - 4 + t - t 2 5 + t - 2 - 1 / 2 0

Resposta

x = c 1 1 2 + c 2 t 1 2 + 0 - 1 2 + ln ⁡ t - 2 - 4 + t - t 2 5 + t - 2 - 1 / 2 0

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