Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 2 - 5 1 - 2 x + csc ⁡ t sec  ⁡ t ,     π 2 < t < π

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 2 - 5 1 - 2 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 2 - r - 5 1 - 2 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + 1

Tendo as raízes:

r 1,2 = ± i

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = + i , temos:

A - r I ξ = 0

2 - i - 5 1 - 2 - i ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

2 - i ξ 1 = 5 ξ   2

Para r = i :

ξ 1 = 5 2 - i

Vamos agora determinar o autovetor associado a segunda solução do sistema homogêneo. Colocando r = - i , temos:

A - r I v = 0

2 + i - 5 1 - 2 + i ∙ v v ' = 0 0

Reduzindo o sistema para:

2 + i v = 5 v '

Para r = - i :

v = 5 2 + i

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

x = c 1 5 2 - i e i t + c 2 5 2 + i e - i t

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz T que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de T .

T = 5 5 2 - i 2 + i

Determinado a aí inversa de T , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

T - 1 = 1 20 2 + i - 5 2 - i   5

Antes de tudo amos verificar que:

T - ∙ A ∙ T = i 0 0 - i

Para determinar a solução não homogênea deste sistema, iremos determinar a matriz fundamental do sistema, para assim determinar a solução não homogenia e por final teremos resultado desejado.

Como:

x 1 t = e i t 5 2 - i

Dividindo a solução acima pela parte real e imaginária temos:

e i t 5 2 - i = cos ⁡ t   + i   s e n   t 5 2 - i = 5 cos ⁡ t   + i   s e n   t ( 2 - i ) cos ⁡ t   + i   s e n   t

5 cos ⁡ t   + i 5   s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t + i ( 2 s e n   t - cos ⁡ t )

= 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t + i 5 s e n   t 2 s e n   t - cos ⁡ t

Em que 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t = u t e i 5 s e n   t 2 s e n   t - cos ⁡ t = i v t

E como as raízes características do sistema é um par complexo conjugado x 2 e x 1 também irão ser um par complexo conjugado.

Temos que a solução geral da equação homogênea fica, x h t = c 1 u t + c 2 v t .

Portanto a matriz fundamental é:

Ψ t = 5 cos ⁡ t 5   s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t 2   s e n   t - cos ⁡ t

Passo 3

Para encontrar uma solução para o problema inicial, nós iremos aplicar o método da variação de parâmetros . Desde que nós possuamos a matriz fundamental, coisa que nós já determinamos não é mesmo, então vamos prosseguir.

Antes de tudo temos que terminar a matriz inversa da matriz fundamental pois,

u t = ∫ Ψ - 1 t g t

E a solução final é x t = Ψ t ∙ u ( t ) , então vamos prosseguir:

Temos que:

Ψ - t = 1 5 ( 2   s e n   t - cos ⁡ t ) s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t -   c o s t  

Determinando u t :

u t = ∫ 1 5 ( 2   s e n   t - cos ⁡ t ) s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t -   c o s t   csc ⁡ t sec  ⁡ t d t

u t = ∫ tan ⁡ t + 1 5 cot ⁡ t - 2 5 2 5 cot ⁡ t - 4 5

u t = ∫ tan ⁡ t + 1 5 cot ⁡ t - 2 5 ∫ 2 5 cot ⁡ t - 4 5

u t = - l n ⁡ ( cos ⁡ t ) + 1 5 ln ⁡ s e n   t - 2 5 + c 1 2 5 ln ⁡ s e n   t - 4 5 t + c 2

Finalmente podemos determinar a solução final:

x t = Ψ t ∙ u t

x t = 5 cos ⁡ t 5   s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t 2   s e n   t - cos ⁡ t - l n ⁡ ( cos ⁡ t ) + 1 5 ln ⁡ s e n   t - 2 5 + c 1 2 5 ln ⁡ s e n   t - 4 5 t + c 2

Efetuando a multiplicação temos:

x t = c 1 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t ( - 2 5 t + 1 5 ln ⁡ s e n   t - ln ⁡ c o s t   + c 1 ) +

5   s e n   t 2 s e n   t - cos ⁡ t ∙ 2 5 l n   s e n t   - 4 5 t + c 2

Resposta

x t = c 1 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t ( - 2 5 t + 1 5 ln ⁡ s e n   t - ln ⁡ c o s t   + c 1 ) +

5   s e n   t 2 s e n   t - cos ⁡ t ∙ 2 5 l n   s e n t   - 4 5 t + c 2

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