Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = - 5 / 4 3 / 4 3 / 4 - 5 / 4 x + 2 t e t

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = - 5 / 4 3 / 4 3 / 4 - 5 / 4 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = - 5 4 - r 3 / 4 3 / 4 - 5 4 - r

det ⁡ A - r I = r + 2 ∙ r + 1 2

Tendo as raízes:

r 1 = - 2

r 2 = - 1 / 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 2 , temos:

A - r I ξ = 0

- 3 / 4 3 / 4 3 / 4 - 3 4 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 = - ξ   2

Para r = - 2 :

ξ 1 = 1 - 1

Vamos agora determinar o autovetor associado a segunda solução do sistema homogêneo. Colocando r = - 1 2 , temos:

A - r I v = 0

- 3 / 4 3 / 4 3 / 4 - 3 4 ∙ v v ' = 0 0

Reduzindo o sistema para:

v = v '

Para r = - 1 / 2 :

v = 1 1

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

x = c 1 1 - 1 e - 2 t + c 2 1 1 e - 1 / 2 t

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz T que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de T .

T = 1 1 - 1 1

Determinado a aí inversa de T , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

T - 1 = 1 2 1 - 1 1 1 = 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Tendo x = T y , assumindo 2 t e t = g t substituiremos na equação inicial:

x ' = A x + g t

T y ' = A T y + g t

Multiplicando toda equação por T - 1 temos:

T - 1 T y ' = T - 1 A T y + T - 1 g t

Resultando em:

y ' = D y + h t

Em que D é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e h t = T - 1 g t .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

y ' = D y + T - 1 g t

Executando o que acabamos de ilustrar:

x = T y

x ' = - 5 / 4 3 / 4 3 / 4 - 5 / 4 x + 2 t e t

1 1 - 1 1 y ' = - 5 / 4 3 / 4 3 / 4 - 5 / 4 1 1 - 1 1 y + 2 - 1 e t

Multiplicando toda equação por T - 1 :

T - 1 1 1 - 2 2 y ' = T - 1 1 1 4 1 1 1 - 2 2 y + T - 1 2 - 1 e t

I y ' = T - 1 A T y + 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2 2 e t - e t

y ' = - 2 0 0 - 1 / 2 y + t - e t / 2 t + e t / 2

y ' = - 2 0 0 - 1 / 2 y 1 y 2 + t - e t / 2 t + e t / 2

Passo 3

Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.

y ' = - 2 0 0 - 1 / 2 y 1 y 2 + t - e t / 2 t + e t / 2

Temos que y 1 ’:

y 1 ' = - 2 y 1 + t - e t / 2

Tendo y 2 ' :

y 2 ' = - 1 2 y 2 + t + e t / 2

Resolvendo o sistema de equações por meio de variação de constante. Temos que determinar a solução do sistema homogêneo e assim teremos a do sistema não homogêneo, temos:

y 1 ' = - 2 y 1 → y 1 = C e - 2 t  

Assumindo que C é uma variável dependente de t , então temos:

y 1 ' = C ' t e - 2 t - 2 C t e 2 - t

Retornando da equação inicial temos:

y 1 ' = - 2 y 1 + t - e t / 2

Como 2 C e - 2 t = y 1 , temos:

y 1 ' = C ' t e - 2 t - 2 C t e 2 - t → C ' t e - 2 t = t - e t 2

C ' t = t e 2 t - e 3 t 2

C t = - 1 12 e t - 6 t + 2 e t + 3 + C 1

Temos que resultado de y 1 :

y 1 = - 1 12 e t - 6 t + 2 e t + 3 + e - 2 t C 1

Repetindo os mesmo passos para y 2 , temos:

y 2 = 2 t - 4 + 1 3 e t + C 2 e - t 2

Tendo resultado final como:

x = T ∙ y 1 y 2  

x = 1 1 - 1 1 ∙ - 1 12 e t - 6 t + 2 e t + 3 + e - 2 t C 1 2 t - 4 + 1 3 e t + C 2 e - t 2  

Efetuando a multiplicação temos:

x = c 1 e - 2 t 1 - 1 + c 2 e - t / 2 1 1 + t 5 / 2 3 / 2 - 17 4 15 4 + e t 1 / 6 1 / 2

Resposta

x = c 1 e - 2 t 1 - 1 + c 2 e - t / 2 1 1 + t 5 / 2 3 / 2 - 17 4 15 4 + e t 1 / 6 1 / 2

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