Enunciado

Em cada um dos Problemas 7 e 8 :

( a ) Encontre a solução geral do sistema de equações dado

( b ) Desenhe um campo de direções e algumas das trajetórias. Em cada um desses, a matriz de coeficientes tem um autovalor nulo. Como resultado, o padrão das trajetórias é diferente dos padrões nos exemplos do texto

x ' = 4 - 3 8 - 6 x

Passo 1

Se você leu a letra b , você tomou aí o spoiler de que um dos auto valores é nulo, mas vamos confirmar ao encontrar os autovalores dessa matrizinha aí:

det ⁡ 4 - r - 3 8 - 6 - r = 0

Dessa forma teremos:

4 - r - 6 - r - - 3 × 8 = 0

r 2 + - 4 + 6 r - 24 + 24 = 0

r 2 + 2 r = 0

Cujas raízes serão:

r = 0 ; r = - 2

E a solução geral desse sistema será igual a:

x = c 1 ξ 1 e 0 + c 2 ξ 2 e - 2 t

Porém e 0 = 1 então a solução geral fica:

x = c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 e - 2 t

Passo 2

Procurando o auto vetor ξ 1 associada a r = 0 nós temos:

4 - 0 - 3 8 - 6 - 0 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

4 - 3 8 - 6 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Com essa matriz nós já sabemos que há uma relação entre ξ 1 1 e ξ 2 1 igual a:

4 ξ 1 1 - 3 ξ 2 1 = 0

4 ξ 1 1 = 3 ξ 2 1

Portanto o auto vetor ξ 1 será igual a:

ξ 1 = 3 4

Nos dando uma solução igual a:

x 1 = c 1 3 4

Passo 3

Agora para o auto vetor associado a r = - 2 nós teremos:

4 + 2 - 3 8 - 6 + 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

O que nos dá:

6 - 3 8 - 4 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

O que nos dá uma relação entre ξ 1 2 e ξ 1 2 igual a:

6 ξ 1 2 - 3 ξ 2 2 = 0

2 ξ 1 2 = ξ 2 2

Portanto o auto vetor ξ 2 será:

ξ 2 = 1 2

E que será uma solução :

x 2 = c 2 1 2 e - 2 t

Então a solução geral do sistema será a soma das soluções oferecidas pelos dois autovalores que será:

x = c 1 3 4 + c 2 1 2 e - 2 t

Passo 4

Plotando o campo de direções e algumas trajetórias possíveis nós teremos:

Resposta

a )   x = c 1 3 4 + c 2 1 2 e - 2 t

b )   I m a g e m   d o   P a s s o   4

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