Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 10:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

(b) Desenhe a trajetória da solução no plano x1x2 e desenhe, também, o gráfico de x1 em função de t.

x ' = 3 9 - 1 - 3 x ,           x 0 = 2 4

Passo 1

a)Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 3 9 - 1 - 3 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 3 - r 9 - 1 - 3 - r

det ⁡ A - r I = r 2

Tendo as raízes:

r 1 = 0

r 2 = 0

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 0 , temos:

A - r I ξ = 0

3 9 - 1 - 3 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 + 3 ξ 2 = 0

Para r = 0 :

ξ 1 = - 3 1

x ( 1 ) t = - 3 1 ∙ e 0 t

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

- 3 1 ∙ η 1 η 2 = - 3 1

Temos que:

η 1 + 3 η 2 = - 1

Assumindo η 2 = k , teremos:

η 1 = - 1 - 3 k

Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = - 3 1 t + - 1 - 3 k k = - 3 1 t + - 1 0 + k - 3 1

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 - 3 1 + c 2 - 3 1 t + - 1 0

Aplicando as condições iniciais temos:

x 0 = 2 4

Ficamos com o seguinte sistema:

c 1 = 4

- 3 c 1 - c 2 = 2

Tendo resultado como:

c 1 = 4

c 2 = - 14

Portanto a solução específica é:

x = 2 4 - 14 - 3 1 t

Passo 2

b) desenhando os gráficos temos:

x 2   m e   f u n ç ã o   d e   x 1  

x 1   e m   f u n ç ã o   d e   ( t )

Resposta

a) x = 2 4 - 14 - 3 1 t

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