Enunciado

Encontre uma solução formal para o problema de valores de contorno não-homogêneo

- x y ' ' = μ x y + f x ,

y , y ' limitados quando x → 0 ,   y 1 = 0 ,

onde f é uma função contínua dada em 0 ≤ x ≤ 1 e μ não é um autovalor do problema homogênea associado.

Sugestão: Use uma expansão em série semelhante ás utilizadas na Seção 11.3.

Passo 1

Façamos ϕ n x = J 0 ( λ n x ) como a autofunção do problema sngular

- x y ' ' = λ x y ,   0 < x < 1 ,

y ,   y '   l i m i t a d o   c o m   x → 0 ,   y 1 = 0

Façamos ϕ ( x ) ser a solução do problema de valor de contorno

ϕ x = ∑ n = 0 ∞ b n ϕ n x

Passo 2

Com isso então

- x ϕ ' ' = μ x ϕ + f x

= μ x ϕ + x f x x

Sustituindo ϕ ( x ) teremos

∑ n = 0 ∞ b n λ n x ϕ n x = μ x   ∑ n = 0 ∞ b n ϕ n x + x ∑ n = 0 ∞ c n ϕ n x

No caso, c n são as expansões do coeficiente de f x x para x > 0 . Isso é:

c n = 1 ϕ n x 2 ∫ 0 1 f x x ϕ n ( x ) d x

= 1 ϕ n x 2 ∫ 0 1 f x ϕ n x d x

Passo 3

Isso segue que se x ≠ 0

∑ n = 0 ∞ c n - b n λ n - μ ϕ n ( x ) = 0

Desde que μ ≠ λ n , linearmente independete da autofunção implica que

b n = c n λ n - μ ,   n = 1 ,   2 ,   3 …

Com isso, uma solução formal é dada por

ϕ n = ∑ n = 0 ∞ c n λ n - μ J 0 λ n x

Aonde λ n são as raízes positivas de J 0 x =

Resposta

ϕ n = ∑ n = 0 ∞ c n λ n - μ J 0 λ n x

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