Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 4, verifique se (0, 0) é um ponto crítico, mostre que o sistema é localmente linear e discuta o tipo e a estabilidade do ponto crítico (0, 0) examinando o sistema linear correspondente.

4)

d x d t = x + y 2 ,       d y d t = x + y

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever o sistema na seguinte forma:

x ' = A x + g x

d d t x y = 1 0 1 1 x y + y 2 0

Passo 2

Agora zerando a coluna x y = 0 , para verificar se ( 0,0 ) é um ponto crítico. Temos que ter o resultado igual vetor zero, vamos lá.

d d t x y = 1 0 1 1 ∙ 0 0 + 0 2 0 = 0 0

Agora podemos identificar a nossa g x = y 2 0 , para mostrar que g 1 x r → = 0 e   g 2 x r → = 0 .

Reescrevendo g x na forma polar temos, x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ .

g 1 x r = y 2 r = r 2   s e n 2 θ r = r   s e n 2   θ

Com r → 0 , temos:

g 1 x r = 0

g 2 x r = 0 r = 0

Bem isto é um ótimo sinal para dizer que o sistema quase linear, ou melhor, localmente linear. provamos que a origem é um ponto critico isolado do sistema linear.

Passo 3

Tendo nosso sistema homogêneo:

d d t x y = 1 0 1 1 x y

E equação característica dele é dada por:

det ⁡ A - r I = 1 0 1 1 - r 0 0 r

Efetuando a subtração e executando o determinante temos:

1 - r 2 = 0

Com raízes características:

r 1 , 2   = 1

Consequentemente, temos autovalores reais e igual 1. Portanto, a origem é um nó impróprio tendo como instável e um sistema não linear isto é igual para o nó ou espiral sendo instável.

Resposta

Consequentemente, temos autovalores reais e igual 1. Portanto, a origem é um nó impróprio tendo como instável e um sistema não linear isto é igual para o nó ou espiral sendo instável.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce as retas de crescimento nulo e descreva como os pontos críticos se movem quando α aumenta.
Encontre os pontos críticos.
Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.
Considere o sistema (3) no Exemplo 1 do texto. Lembre-se de que esse sistema tem um ponto critico assinoticamente estavel em (0,5; 0,5), correspondente a coexistência estável das populações das duas e
O sistema resulta de uma aproximação das equações de Hodgkin-Huxley, que moderam a transmissão de impulsos neurais ao longo de um axônio.Encontre os pontos críticos e classifique-os, investigando o si