1.

Sabendo que o ponto crítico do sistema abaixo é x 0 = 0,0 , determine o retrato de fase e qual tipo de ponto é o ponto crítico.

X ' = 1 - 4 4 - 7 X

Resolução
2.

Considere o sistema linear X ' t = A X ( t ) onde:

A = 1 a b 1

Determine os valores de a, b para os quais:

I) As soluções do sistema satisfazem

lim t → + ∞ ⁡ X ( t ) = 0,0

II) A singularidade (0,0) é uma sela hiperbólica.

Resolução
3.

Seja y t = ( y 1 t , y 2 t ) . Considere as matrizes seguintes:

  1. A = 1 1 2 2
  2. B = 1 3 - 2 - 1
  3. C = 2 3 1 5
  4. D = 1 - 2 2 1
  5. E = - 2 2 - 2 - 1
  6. F = - 2 2 - 2 - 7
  7. G = 3 0 0 3
  8. H = 1 2 0 - 2

A seguir estão os retratos de fase dos sistemas Y ' t = A Y t , … , Y ' t = H Y t .

Ao lado de cada figura escreva qual é a letra da matriz correspondente.

Resolução
4.

Seja y t = ( y 1 t , y 2 t ) . Considere as matrizes seguintes:

  1. A = 1 1 2 2
  2. B = 1 3 - 2 - 1
  3. C = 2 3 1 5
  4. D = 1 - 2 2 1
  5. E = - 2 2 - 2 - 1
  6. F = - 2 2 - 2 - 7
  7. G = 3 0 0 3
  8. H = 1 2 0 - 2

A seguir estão os retratos de fase dos sistemas Y ' t = A Y t , … , Y ' t = H Y t .

Ao lado de cada figura escreva qual é a letra da matriz correspondente.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Resolução
5.

Considere o sistema X ' t = - 2 1 - 1 - 2 X t .

a) Esboce o retrato de fase e classifique a singularidade (0,0).

b) Ache a solução geral do sistema X ' t = A X t + - 1 , t onde:

A = - 2 1 - 1 - 2

c) Ache a solução do sistema da letra (b) com condição inicial X 0 = 1,1 .

Resolução
6.

Para o sistema abaixo, esboce o retrato de fase correspondente e classifique a singularidade 0,0

X ' t = - 2 1 - 1 - 2 X t

Resolução
7.

Para o sistema abaixo, esboce o retrato de fase correspondente e classifique a singularidade 0,0

X ' t = 3 - 1 3 3 X t

Resolução
8.

Considere o sistema

X ' t = 2 3 2 1 X t

Faça um esboço do retrato de fase do sistema

Resolução
9.

Considere o sistema linear X ' t = A X t onde:

A = b b - 1 2 b + 1 2 b

Determine os valores do parâmetro real b de maneira que no retrato de fase exista um nó atrativo.

Resolução
10.

Considere a matriz A dada por

A = α 1 - 1 - α

( a ) Determine os valores de α de modo que no retrato de fase do sistema X ' t = A . X ( t ) o ponto crítico ( 0,0 ) seja um centro.

( b ) Para α = 0 , encontre a solução do sistema e esboce o retrato de fase.

Resolução

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