Enunciado

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Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução ϕ .

18. y ' = t 2 + y 2 ,     y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pro nosso probleminha!

Olha só! Seja φ ( t ) uma solução para o problema do valor inicial.

O erro de truncamento local para o método Euler, no intervalo t n   ≤   t   ≤   t n + 1   , é dado por...

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' t - n h 2

Sendo que t - n vai estar contido no intervalo abaixo...

t n   < t - n < t n + 1  

Passo 2

Agora, vamos trocar y por ϕ ( t ) substituindo na equação diferencial que nos é dada...

ϕ ' ( t ) = t 2 + [ ϕ t ] 2

Derivando essa expressão, ficamos com...

ϕ ' ' t = 2 t + 2 ϕ t ⋅ ϕ ' ( t )

Só que anteriormente, descobrimos que...

ϕ ' ( t ) = t 2 + [ ϕ t ] 2

Aproveitando-se dessa relação na equação que derivamos:

ϕ ' ' t = 2 t + 2 ϕ t ⋅ ( t 2 + [ ϕ t ] 2 )

ϕ ' ' t = 2 t + 2 ϕ t t 2 + [ ϕ t ] 3

Desse modo, a nossa fórmula para o erro e n + 1 de truncamento local vai ser:

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' t - n h 2

e n + 1 = 1 2 2 t - n + 2 ϕ t - n ⋅ t - n 2 + ϕ t - n 2 ⋅ h 2

e n + 1 = [ t - n + t - n 2 ϕ t - n + ϕ 3 ( t - n ) ] h 2

Não podendo esquecer do intervalo de t - n ...

t n   < t - n < t n + 1

Resposta

e n + 1 = t - n + t - n 2 ϕ t - n + ϕ 3 t - n h 2 ,     t n   < t - n < t n + 1

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