Enunciado

Em cada um dos problemas de 44   a 49 , use os resultados do problema 43 para determinar se o ponto no infinito é um ponto ordinário, singular regular ou singular irregular da equação diferencial dada...

48. y ' ' - 2 x y ' + λ y = 0 ,           ( E q u a ç ã o   d e   H e r m i t e )

Passo 1

Bora lá pro nosso probleminha!

Olha só! Queremos verificar que tipo de ponto é o ponto no infinito para a equação diferencial dada. Sendo assim, vamos usar a transformação abaixo...

x = 1 ξ

De modo que a nossa E D O de antes se torna...

y ' ' - 2 x y ' + λ y = 0

ξ 4 d 2 y d ξ 2 + 2 ξ 3 + 2 ξ 2 ⋅ 1 ξ d y d ξ + λ y = 0

ξ 4 d 2 y d ξ 2 + 2 ξ 3 + ξ d y d ξ + λ y = 0

E por essa equação, tiramos que ξ = 0 é um ponto singular. Vamos ver agora, qual tipo de ponto singular ele é...

Passo 2

Para isso peguemos os dois primeiros coeficientes que acompanham os termos dessa E D O modificada e bora dividir o segundo pelo primeiro...

p ξ = 2 ξ 3 + ξ ξ 4

p ξ = 2 ξ 2 + 1 ξ 3

Em seguida, bora pegar o primeiro e o terceiro coeficientes da E D O e dividir o terceiro pelo primeiro, para obter um termo q ξ ...

q ξ = λ ξ 4

Passo 3

E pra finalizar, bora calcular o limite abaixo. Se ele não existir, é porque o ponto é singular irregular. Senão, é porque o ponto é singular regular...

lim      ξ → 0 ⁡ ξ ⋅ p ξ =

= lim    ξ → 0 ⁡ ξ ⋅ 2 ξ 2 + 1 ξ 3 = lim     ξ → 0 ⁡ 2 ξ 2 + 1 ξ 2 =

lim     ξ → 0 ⁡ 2 + 1 ξ 2 = ∞

O limite não existe! Acaba tendendo para o infinito!

Logo, o nosso ponto ξ = 0 para x = ∞ é um ponto singular irregular.

Resposta

O   p o n t o   n o   i n f i n i t o   é   u m   p o n t o   s i n g u l a r   i r r e g u l a r

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