Calcula a integral

∫   t g 2 x sec 4 ⁡ x     d x  

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

sec 2 ⁡ x   d x =     t g 2 + 1    

Então, substituindo na integral,

∫   t g 2 x sec 4 ⁡ x     d x   = ∫   t g 2   x   sec 2 ⁡ x     sec 2 ⁡ x   d x = ∫   t g 2   t g 2 + 1   sec 2 ⁡ x   d x

Passo 2

Para facilitar nossa vida, vamos fazer uma substituição,

u = t g   x ⇒ d u = sec 2 ⁡ x

Daí,

∫   t g 2   t g 2 + 1   sec 2 ⁡ x   d x = ∫   u 2 u 2 + 1     d u

Abrindo as contas,

∫   u 2 u 2 + 1     d u =   ∫ u 4 + u 2 d u

Pelas propriedades de integral,

∫ u 4 + u 2 d u = u 5 5 + u 3 3 + K = 1 5 t g 5 x + 1 3 t g 3 x + K  

Resposta

∫   t g 2 x sec 4 ⁡ x     d x   = 1 5 t g 5 x + 1 3 t g 3 x + K  

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