Calcular a integral indefinida.

∫ d x x x 2 + x - 3

Passo 1

Vamos lá, o trinômio de dentro do radical tem a > 0 . Nesse caso, a gente faz a substituição:

x 2 + x - 3 = x 2 + t = x + t

Vamos desenvolver:

x 2 + x - 3 = x 2 + 2 x t + t 2

x - 3 = 2 x t + t 2

x 1 - 2 t = t 2 + 3

x = t 2 + 3 1 - 2 t

E aí o d x fica:

d x = - 2 t 2 + 2 t + 6 1 - 2 t 2 d t

Passo 2

Pra substituir na integral, a gente precisa de x e da raiz que vai ser:

x 2 + x - 3 = t 2 + 3 1 - 2 t + t  

= - t 2 + t + 3 1 - 2 t

Vamos montar a integral agora:

∫ - 2 t 2 + 2 t + 6 1 - 2 t 2 t 2 + 3 1 - 2 t - t 2 + t + 3 1 - 2 t d t

Vamos desenvolver e simplificar...

Passo 3

Simplificando...

∫ - 2 t 2 + 2 t + 6 t 2 + 3 - t 2 + t + 3 d t

= ∫ 2 t 2 + 3 d t

Bem melhor né?! Essa aqui dá pra integrar direto. Vai ficar assim:

= 2 ∙ 1 3 a r c t g t 3 + C

A gente volta pra nossa variável x   (só isolar o t lá na substituição do passo 1)

= 2 3 a r c t g   x 2 + x - 3 - x 3 + C

Prontinho! Esta é a nossa integralzinha😊

Resposta

2 3 a r c t g   x 2 + x - 3 - x 3 + C

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