Calcular o limite, caso ele exista:

lim x → π 2 ⁡ 3 c o s ⁡ ( x ) 2 x - π

Passo 1

Notem que ao fazermos x → π 2 teremos uma indeterminação do tipo 0 0 então, temos que fugir disso!!! Mas, como vamos fazer isso?!

Para resolver nosso problema, vamos usar um teorema MUITO famoso, conhecido como Teorema de L’Hôpital:

Sendo f ( x ) e g ( x ) duas funções diferenciáveis em um intervalo aberto   I , exceto, possivelmente em um número a contido nesse intervalo. Suponha que para todo   x ≠ a em I , temos que g ' ( x ) ≠ 0 . Então, se lim x → a ⁡ f ( x ) = 0 e lim x → a ⁡ g ( x ) = 0 e se:

lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = L

Temos que:

lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = L

Passo 2

ATENÇÃO MÁXIMA: f x g x ' ≠ f ' ( x ) g ' ( x )

NÃO vamos efetuar a regra da derivada do quociente, vamos fazer a divisão das respectivas derivadas, como dita o teorema!!!

Agora, vamos dar nomes aos bois:

f x = 3 c o s ⁡ ( x )

f ' x = - 3 s e n ( x )

g x = 2 x - π

g ' x = 2

Então, temos que:

lim x → π 2 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = l i m x → π 2 - 3 s e n ( x ) 2

Notem: nosso problema com a indeterminação sumiu!!!

Agora, vamos resolver a equação e correr pro abraço:

lim x → π 2 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = l i m x → π 2 - 3 s e n ( x ) 2

lim x → π 2 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = l i m x → π 2 - 3 s e n ( π 2 ) 2

lim x → π 2 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = l i m x → π 2 - 3 . 1 2

lim x → π 2 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = - 3 2

Passo 3

Próximo passo, vamos fazer o uso do teorema dito para efetuar as devidas igualdades:

lim x → π 2 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → π 2 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )

Tendo que:

lim x → π 2 ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = - 3 2

Então:

lim x → π 2 ⁡ f ( x ) g ( x ) = - 3 2

Sabendo que:

f x = 3 c o s ⁡ ( x )

g x = 2 x - π

Resposta

lim x → π 2 ⁡ 3 c o s ⁡ ( x ) 2 x - π = - 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados