Calcular
Onde S é a superfície esférica
Passo 1
Podemos resolver esse exercício, vamos precisar adotar uma mudança de coordenadas. Vamos aplicar as coordenadas esféricas. Para coordenadas esféricas, temos:
Com:
E
Primeiro vamos visualizar a região que vamos projetar :
Vamos ter uma esfera de raio !
Com essas informações, vamos ao ataque da questão!
Passo 2
Primeiro, vamos determinar nosso valor de em coordenadas esféricas. Pela nossa transformação, essa expressão será:
Dessa forma, temos:
Nosso elemento de área para coordenadas esféricas se torna:
Dessa forma, basta a gente substituir na integral que queremos calcular. Então ficamos com:
Simplificando a integral, teremos:
Podemos simplificar um pouco mais a integral, na forma:
Repare que a primeira integral, a mais externa, é bem fácil de resolver e podemos resolver ela diretamente, já que a integral mais interna produzirá um resultado que não depende de ! Dessa forma, temos:
Vamos resolver essa última integral com calma!
Passo 3
A integral que queremos resolver é:
Repare que podemos separar ela na forma:
Usando uma pequena identidade trigonométrica marota, temos:
Fazendo uma ligeira substituição do tipo:
Temos:
Com novos limites de integração, da forma:
Dessa forma, nossa integral se torna:
Multiplicar a integral por significa inverter os limites de integração, na prática. Com isso, temos:
Avaliando nos limites de integração, temos:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora que temos o valor da integral que estava faltando, vamos substituir na nossa expressão original:
Vimos que:
Então, temos: