Calcular

∫ ∫ S x 2 + y 2   d S  

Onde S é a superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 16

Passo 1

Podemos resolver esse exercício, vamos precisar adotar uma mudança de coordenadas. Vamos aplicar as coordenadas esféricas. Para coordenadas esféricas, temos:

x = R s e n ϕ c o s θ

y = R s e n ϕ s e n θ

z = R c o s ϕ

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

Com:

0 ≤ ϕ ≤ π

E

0 ≤ θ ≤ 2 π

Primeiro vamos visualizar a região que vamos projetar :

Vamos ter uma esfera de raio R = 4 !

Com essas informações, vamos ao ataque da questão!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar nosso valor de x 2 + y 2 em coordenadas esféricas. Pela nossa transformação, essa expressão será:

x 2 + y 2 = R 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ +   s e n 2 θ

Dessa forma, temos:

x 2 + y 2 = R 2 s e n 2 ϕ

Nosso elemento de área d S para coordenadas esféricas se torna:

d S = d x   d y = R 2 s e n ϕ   d ϕ d θ

Dessa forma, basta a gente substituir na integral que queremos calcular. Então ficamos com:

∬ S x 2 + y 2   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 16   s e n 2 ϕ 16   s e n ϕ d ϕ   d θ

Simplificando a integral, teremos:

256 ⋅ ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ   d θ

Podemos simplificar um pouco mais a integral, na forma:

256 ⋅ ∫ 0 2 π d θ   ∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ

Repare que a primeira integral, a mais externa, é bem fácil de resolver e podemos resolver ela diretamente, já que a integral mais interna produzirá um resultado que não depende de θ ! Dessa forma, temos:

256 ⋅ 2 π ⋅ ∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ = 512 π ⋅   ∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ

Vamos resolver essa última integral com calma!

Passo 3

A integral que queremos resolver é:

∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ

Repare que podemos separar ela na forma:

∫ 0 π s e n ϕ ⋅   s e n 2 ϕ   d ϕ

Usando uma pequena identidade trigonométrica marota, temos:

∫ 0 π s e n ϕ ⋅ 1 - cos 2 ⁡ ϕ   d ϕ

Fazendo uma ligeira substituição do tipo:

u = c o s ϕ

Temos:

d u =   - s e n ϕ   d ϕ

Com novos limites de integração, da forma:

ϕ = 0 ;     u = 1

ϕ = π ;     u = - 1

Dessa forma, nossa integral se torna:

∫ 0 π s e n ϕ ⋅ 1 - cos 2 ⁡ ϕ   d ϕ = ∫ 1 - 1 - 1 - u 2 d u

Multiplicar a integral por - 1 significa inverter os limites de integração, na prática. Com isso, temos:

∫ - 1 1 1 - u 2 d u = u - u 3 3 - 1 1

Avaliando nos limites de integração, temos:

u - u 3 3 - 1 1 = 1 - 1 3 3 - - 1 - - 1 3 3

Simplificando, temos:

2 3 - - 2 3 = 4 3

Passo 4

Agora que temos o valor da integral que estava faltando, vamos substituir na nossa expressão original:

512 π ⋅   ∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ

Vimos que:

∫ 0 π s e n 3 ϕ   d ϕ = 4 3

Então, temos:

512 π ⋅ 4 3 = 2048 π 3

Resposta

∫ ∫ S x 2 + y 2   d S   = 2048 π 3

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