Enunciado

Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :

c) lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2  

Passo 1

A proposição 3.3 . 6 diz que se lim x → 0 y → 0 ⁡ f x ,   y = 0 e g ( x , y ) é uma função limitada em uma bola aberta de centro em ( x 0 , y 0 ) , então

lim x → 0 y → 0 ⁡ f x ,   y ⋅ g ( x , y ) = 0

Passo 2

Queremos então provar que lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2   = 0 , para isso vamos separar em duas funções, uma f ( x , y ) e uma g ( x , y ) , onde provaremos que a lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y = 0 e que a g ( x , y ) é limitada.

Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2   = lim x → 0 y → 0 ⁡ x y ⋅ x x 2 + y 2  

Vamos considerar f x , y = x y e g x , y = x x 2 + y 2  

Passo 3

Primeiro calculamos o limite de f ( x , y ) , assim temos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y = 0 ⋅ 0 = 0

Passo 4

Agora temos que provar que g x , y é limitada. Para isso podemos dizer o seguinte:

x x 2 + y 2   = x x 2 + y 2

Podemos dizer que:

x ≤ x 2 + y 2

Com isso podemos fazer a seguinte inequação:

x x 2 + y 2   ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2

x x 2 + y 2   ≤ 1

Dessa forma provamos que a g x , y é uma função limitada.

Passo 5

Pelo passo 3 e pelo passo 4 temos que lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y = 0 e que g x , y é limitada, assim pela proposição 3.3 . 6

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2   = lim x → 0 y → 0 ⁡ x y ⋅ x x 2 + y 2   = 0

Resposta

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2   = 0

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