Enunciado

Calcular o volume do sólido delimitado pelos planos y = 0 ,   z = 0 ,   x + y = 4 e pelo cilindro parabólico z = 1 - x 2 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

Pela figura nós conseguimos ver que o z vai do zero até a altura do paraboloide, então:

0 ≤ z ≤ 1 - x 2

Analisando o y nós vemos que ele também vai do zero até o plano x + y = 4 .

Isolando o y:

y = 4 - x

Então:

0 ≤ y ≤ 4 - x

Agora, vamos achar o x, não é?

Pelo desenho nós vemos que o limite de x é dado pelo cilindro parabólico, e é máximo quando z = 0 :

1 - x 2 = 0

x 2 = ± 1

Sendo assim:

- 1 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = = ∬ R ∫ 0 1 - x 2 d z d y . d x

Resolvendo:

∫ 0 1 - x 2 d z = z = 1 - x 2

Sendo assim:

= ∬ R ( 1 - x 2 ) d y . d x

= ∫ - 1 1 ∫ 0 4 - x ( 1 - x 2 ) d y d x  

Resolvendo a integral:

∫ 0 4 - x ( 1 - x 2 ) d y = 1 - x 2 y = ( 1 - x 2 ) ( 4 - x )

= 4 - x - 4 x 2 + x 3

Então:

= ∫ - 1 1 4 - x - 4 x 2 + x 3 d x = 4 x - x 2 2 - 4 x 3 3 + x 4 4

Aplicando o intervalo:

= 4 ( 1 - ( - 1 ) ) - 1 2 - - 1 2 2 - 4 3 ( 1 3 - - 1 3 ) + 1 4 1 4 - - 1 4

= 8 - 8 3 = 16 3

Finalizamos mais umaa !!

Resposta

16 3

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