Enunciado

Calcular o volume do tetraedro da Figura 8.32.

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é descobrir qual a equação do plano.

Olhando pela figura nós já podemos inferir que ela será:

x 2 + y 1 + z 3 = 1

Vamos confirmar desenhando?

Certinho, não é?

Sendo assim, z é limitada pelo zero e pelo plano:

z 3 = 1 - x 2 - y

z = 3 - 3 2 x - 3 y

Então:

0 ≤ z ≤ 3 - 3 2 x - 3 y

Analisando o x nós vemos que ele também vai do zero até o plano e será máximo quando z = 0 :

x 2 = 1 - y

x = 2 - 2 y

Então:

0 ≤ x ≤ 2 - 2 y

Para finalizar nós precisamos do y, e ele vai até seu coeficiente:

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = = ∬ R ∫ 0 3 - 3 2 x - 3 y d z d x . d y

Resolvendo:

∫ 0 3 - 3 2 x - 3 y d z = z = 3 - 3 2 x - 3 y

Sendo assim:

= ∬ R 3 - 3 2 x - 3 y d x . d y

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y 3 - 3 2 x - 3 y d x d y  

Resolvendo a integral:

∫ 0 2 - 2 y 3 - 3 2 x - 3 y d x = 3 x - 3 2 x 2 2 - 3 y x

= 3 ( 2 - 2 y ) - 3 4 2 - 2 y 2 - 3 y ( 2 - 2 y )

= 6 - 6 y - 3 4 4 - 8 y + 4 y 2 - 6 y + 6 y 2

= 6 - 6 y - 3 + 6 y - 3 y 2 - 6 y + 6 y 2

= 3 - 6 y + 3 y 2

Então:

= ∫ 0 1 3 - 6 y + 3 y 2 d y = 3 y - 6 y 2 2 + 3 y 3 3

= 3 y - 3 y 2 + y 3

Aplicando o intervalo:

= 3 × 1 - 3 × 1 2 + 1 3

= 1

Finalizamos mais umaa !!

Resposta

1

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