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Calcule f ' x .

f x = 1 + e x 1 - e x

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = 1 + e x

e

g x = 1 - e x

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = 1 + e x 1 - e x ' = 1 + e x ' ⋅ 1 - e x - 1 + e x ⋅ 1 - e x ' 1 - e x 2

Passo 2

Vamos usar a regra da função constante e da função exponencial:

c ' = 0

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando as duas regras:

h ' x = 1 + e x ' = 0 + e x ⋅ x ' = e x ⋅ x 1 - 1 = e x ⋅ x 0 = e x ⋅ 1 = e x

Com g ' ( x ) vamos usar as mesmas regras:

g ' x = 1 - e x ' = 0 - e x ⋅ x ' = - e x ⋅ x 1 - 1 = - e x ⋅ x 0 = - e x ⋅ 1 = - e x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = 1 + e x 1 - e x ' = 1 + e x ' ⋅ 1 - e x - 1 + e x ⋅ 1 - e x ' 1 - e x 2 = e x ⋅ 1 - e x - 1 + e x ⋅ - e x 1 - e x 2 = e x - e 2 x + e x + e 2 x 1 - e x 2 = 2 e x 1 - e x 2

Resposta

f ' ( x ) = 2 e x 1 - e x 2

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