Calcule.

∫ - 2 1 3 4 + x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 4 + x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 1   d x → d u = d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = - 2 → u = 4 + - 2 = 2

x = 1 → u = 4 + 1 = 5

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 2 1 3 4 + x d x = ∫ 2 5 3 u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 3 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 3 u d u = 3 ∫ 1 u d u = 3 ln ⁡ u + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 2 5 3 u d u = 3 ln ⁡ u 2 5 = 3 ln ⁡ 5 - 3 ln ⁡ 2 = 3 ln ⁡ 5 2

Resposta

∫ - 2 1 3 4 + x d x = 3 ln ⁡ 5 2

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