Enunciado

Calcule.

int_(- 2)^1 (3)/(4 + x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 4 + x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 1 d x -> d u = d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = - 2 -> u = 4 + (- 2) = 2

x = 1 -> u = 4 + 1 = 5

Vamos agora fazer a substituição:

int_(- 2)^1 (3)/(4 + x) d x = int_2^5 (3)/(u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (3)/(u) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (3)/(u) d u = 3 int (1)/(u) d u = 3 ln |u| + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_2^5 (3)/(u) d u = (3 ln |u|)_2^5 = 3 ln |5| - 3 ln |2| = 3 ln (5)/(2)

Resposta

int_(- 2)^1 (3)/(4 + x) d x = 3 ln (5)/(2)

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