A fórmula MathML fornecida contém apenas um espaço em branco, portanto não há uma fórmula matemática a ser reescrita. Se a ideia é representar um espaço ou uma ausência de fórmula, não há nada a ser transcrito. Se houver um erro na entrada e você está aguardando que uma fórmula específica seja escrita, por favor, verifique a entrada. Calcule

∫ 2 x 2 + 4 x 3 - 8 d x

Passo 1

Temos que calcular a integral

∫ 2 x 2 + 4 x 3 - 8 d x

Passo 2

O primeiro passo é fatorar o denominador

∫ 2 x 2 + 4 x 3 - 8 d x = ∫ 2 x 2 + 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) d x

Agora temos que fazer as frações parciais

2 x 2 + 4 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = a 0 x - 2 + a 2 x + a 1 x 2 + 2 x + 4

Multiplicando a equação pelo denominador temos

2 x 2 + 4 x - 2 x 2 + 2 x + 4 x - 2 x 2 + 2 x + 4

= a 0 ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x - 2 + ( a 2 x + a 1 ) ( x - 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x 2 + 2 x + 4

2 x 2 + 4 = a 0 x 2 + 2 x + 4 + ( a 2 x + a 1 ) ( x - 2 )

Finalmente comparando temos a 0 = 1

Para o segundo temo temos que expandir a conta então

2 x 2 + 4 = x 2 + 2 x + 4 + a 2 x 2 - a 2 x + a 1 x - 2 a 1

Agora igualando os coeficientes 4 - 2 a 1 = 4

2 - 2 a 2 + a 1 = 0

1 + a 2 = 2

Resolvendo temos

a 2 = 1   e   a 1 = 0

Passo 3

Logo ficamos com a integral

∫ x x 2 + 2 x + 4 + 1 x - 2 d x

Para o primeiro termo vamos fazer a segunte substituição

x 2 + 2 x + 4 - 3 + 3 = x + 1 2 + 3

u = x + 1

x = u - 1

d u = d x

∫ x x 2 + 2 x + 4 d x = ∫ u - 1 u 2 + 3 d u = ∫ u u 2 + 3 d u - ∫ 1 u 2 + 3 d u

Na primeira integral vamos fazer outra substituição

u 2 + 3 = y

d y 2 = u   d u

Logo ficamos com

∫ u u 2 + 3 d u = ∫ 1 2 y d y = 1 2 ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ ( u 2 + 3 ) = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 4 )

Passo 4

Para a segunda integral, teremos que por 3 em evidencia

1 3 ∫ 1 u 2 3 + 1 d u

Agora usaremos uma substituição trigonométrica

u 3 = t g   θ

d u   = 3     sec 2 ⁡ θ   d θ

Portanto ficamos com

3 3 ∫ sec 2 ⁡ θ t g   θ 2 + 1 d θ = 3 3 ∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 3 3   θ

Desfazendo a substituição

a r c   t g u 3 =   θ

E u = x + 1

Temos que

1 3 ∫ 1 u 2 3 + 1 d u = 3 3   a r c   t g x + 1 3

Juntando as duas integrais temos

∫ x x 2 + 2 x + 4 d x = ∫ u - 1 u 2 + 3 d u = ∫ u u 2 + 3 d u - ∫ 1 u 2 + 3 d u = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 4 ) - 3 3   a r c   t g x + 1 3

Passo 5

Por ultimo temos

∫ 1 x - 2 d x

Podemos fazer a seguinte substituição

x - 2 = v

d v = d x

Ficamos com

∫ 1 x - 2 d x = ∫ 1 v d v = ln ⁡ v = ln ⁡ ( x - 2 )

Passo 6

Basta juntar tudo para se obter a resposta

∫ 2 x 2 + 4 x 3 - 8 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 4 ) - 3 3   a r c   t g x + 1 3 + ln ⁡ ( x - 2 )

Resposta

∫ 2 x 2 + 4 x 3 - 8 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 4 ) - 3 3   a r c   t g x + 1 3 + ln ⁡ ( x - 2 )

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