7) Calcule

∮_γ - y/(x^2 + y^2) dx + x/(x^2 + y^2) dy

onde γ é uma curva

Passo 1

Olá, tudo bem?

Agora é hora de você aprender um pouco mais sobre cálculo. Mais especificamente você irá aprender sobre o teorema de Green.

O teorema de Green diz que

∮ γ P d x + Q d y   = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Definimos nessa questão o campo vetorial como:

F → x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

Passo 2

Um campo F → x , y = P x , y , ,   Q x , y é conservativo se:

∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y

Vamos calcular então:

P x , y = - y x 2 + y 2

Q x , y = x x 2 + y 2

Usando a regra do quociente para realizarmos essas derivadas parciais:

∂ Q ∂ x = x 2 + y 2 1 - x 2 x x 2 + y 2 2   = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ P ∂ y = - x 2 + y 2 1 + 2 y 2 x 2 + y 2 2   = - x 2 - y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Portanto:

∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y

Nesse caso o nosso campo é conservativo, mas com um problema, não é definido em 0,0 .

Passo 3

O campo não é conservativo em todo o domínio, porque ele não é definido na origem ( 0,0 ) , que está dentro da região limitada por γ .

Logo, não podemos aplicar o Teorema de Green diretamente

Para aplicar o Teorema de Green com um buraco no meio, podemos dividir a curva γ em duas laçadas (laço da esquerda e laço da direita), cada uma percorrida no sentido anti-horário.

Parametrizando uma curva que envolve a origem uma vez no sentido anti-horário:

x t = cos ⁡ t

y t = sin ⁡ t

0 ≤ t ≤ 2 π

Substituindo na integral:

d x = - sin ⁡ t d t

d y = cos ⁡ t d t

∮ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = ∫ 0 2 π - sin ⁡ t 1 - sin ⁡ t + cos ⁡ t 1 d t

= ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

= ∫ 0 2 π 1 d t

= 2 π

Resposta

∮ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = 2 π

Ver Outros Exercícios desse livro