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Calcule o momento de inércia da superfície esférica de raio R , homogênea, de massa M , em torno de qualquer diâmetro. (Tal superfície deve ser imaginada como um corpo delgado e homogêneo)

Passo 1

A equação da esfera é dada por: x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

Vamos começar parametrizando essa superfície esférica. Vamos usar coordenadas esféricas (bem conveniente né?! Haha) que é assim:

σ : x = R s e n ϕ cos ⁡ θ y = R   s e n   ϕ   s e n   θ z =   R cos ⁡ ϕ

E o jacobiano desse caso é R 2 s e n ϕ .

Onde:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π

Passo 2

O momento de inércia em relação a um diâmetro, é dada por:

I = k ∬ K x 2 + y 2 d S

Onde k é a densidade, que é constante. Vamos trazer isso pro nosso caso agora:

I = k ∫ 0 2 π ∫ 0 π R 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + R 2   s e n 2   ϕ   s e n 2   θ R 2 s e n   ϕ   d ϕ d θ

= k   ∫ 0 2 π ∫ 0 π ( R 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ R 2 s e n   ϕ d ϕ d θ

= k ∫ 0 2 π ∫ 0 π ( R 2 s e n 2   ϕ )   R 2 s e n ϕ d ϕ d θ

= k R 4   ∫ 0 2 π s e n 3 ϕ   d ϕ d θ

(usando uma tabelinha de integrais aqui pra agilizar...)

= k R 4 ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π d θ

= k R 4 ∫ 0 2 π 1 - 1 3 + 1 - 1 3 d θ

= k R 4 2 π 4 3

= 8 k π R 4 3

Beleza, esse é o momento de inércia!

Passo 3

Só que... a gente precisa relacionar esse valor com a massa da esfera (não deram que tem massa a toa!) vamos lá então...

A área da superfície da esfera é 4 π R 2 , certo? Como a densidade é k , a massa vai ser 4 k π R 2 . Agora já dá pra a gente colocar I em função de M . Fica que:

I = 2 R 2 3 4 π R 2

I = 2 R 2 M 3

Agora prontinho!! 😉

Resposta

I = 2 R 2 M 3

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