Enunciado

4 . Calcule a área da parte da superfície cilíndrica z 2   +   x 2   =   4 que seencontra dentro do cilindro x 2   +   y 2   ≤   4 e acima do plano xy

Passo 1

O enunciado pode parecer confuso , então vamos primeiro ver com qual superfície estamos lidando.

É com a parte superior desse cilindro, recortado pela região

x 2   +   y 2   ≤   4

Acho que já deu uma melhorada. Vamos escrever a estrutura do nosso calculo

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v    

Ou

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Vamos usar a segunda parte.

Passo 2

Da equação do nosso cilindro

z 2   +   x 2   =   4

Podemos escrever

z = 4 - x 2

Assim as derivas parciais serão

z y = 0

z x = - x 4 - x 2

Passo 3

Vamos plotar os dados no calculo

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + 0 2 + - x 4 - x 2 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + x 2 4 - x 2 d y d x

∫ ∫ R ' 4 4 - x 2 d y d x

2 ∫ ∫ R ' 1 4 - x 2 d y d x

Agora precisamos ver quais são nosso limites de integração da aeuqação abaixo

x 2   +   y 2   ≤   4

Podemos dizer que

- 2 < x < 2

- 4 - x 2 < y < 4 - x 2

Logo nossa integração fica

2 ∫ - 2 2   ∫ - 4 - x 2 4 - x ² 1 4 - x ²     d y d x

= 2 ∫ - 2 2 1 4 - x 2 4 - x 2 - - 4 - x 2   d x = 4   ∫ - 2 2 d x = 4 ⋅ 4  

= 16

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x = 16

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Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = y ;σ u , v = u , v , 1 - u 2 ,0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ u .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = x 2 + y 2 ;σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 1 . (Fica entendido aqui que σ é a parametrização mais “natural” do conjunto dado).
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: g )f x , y , z = x ;σ é a parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 1ez = 3 .
Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: c )f x , y , z = 2 e σ u , v = u , v ,1 - u 2 ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ 1 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: f )f x , y , z = x y ;σ é a interseção do paraboloide z = x 2 + y 2 com o conjunto x 2 + y 2 ≤ 2 x ,y ≥ 0 .