Enunciado

5 . Calcule a área da parte da superfície esférica x 2   +   y 2   +   z 2   =   1   que seencontra dentro do cone z ≥ x 2 + y ²

Passo 1

Pode ate parecer confuso quando temos 2 equações, fica aquela duvida de “qual superfície usar?”. Bem vamos traduzir o que esse exercício diz , temos então uma casca esférica limitada por uma região.

E essa região limitada da casca esférica que vamos calcular. Lembrando que nossa estrutura de cálculo é

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

Passo 2

Então vamos usar nossa equação da esfera e projetar ela no plano XY

x 2   +   y 2   +   z 2   =   1

Logo como vamos projetar em XY, vamos isolar z

z = 1 - x 2 - y 2      

Só nos resta agora calcular as derivadas parciais de z

z x = - x 1 - x 2 - y 2

z y = - y 1 - x 2 - y 2

Passo 3

Vamos Unir o que já calculamos a nossa integral

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + - x 1 - x 2 - y 2 2 + - y 1 - x 2 - y 2 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 + x 2 + y 2 - x ² - y ² 1 - x 2 - y 2 d y d x

∫ ∫ R ' 1 1 - x 2 - y 2 d y d x

Beleza Agora já temos nossa equação pra integrar. Só precisamos agora terminar descobrir o intervalo de integração. E ele sera todo o espaço dentro do cone, isso significa que teremos uma interseção entre o cone e a esfera

z 2 = x 2 + y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Substituindo z teremos

x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1

2     x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 1 2

SHOW!!! Já temos tudo o que precisamos. Já que estamos trabalhando com uma região circular, podemos usar coordenadas polares assim nosso intervalo será

0 < r < 1 2

0 < θ < 2 π

Obedecendo as regras

x 2 + y 2 = r 2

J = r

Vamos arregaçar as mangas e integrar

∫ 0 2 π   ∫ 0 1 2 1 1 - r ²     r d r d θ

Essa integral nos já sabemos o resultado, porque derivamos z   parcialmente e obtemos uma equação parecida. E como nossa função não depende de θ podemos integrar diretamente e obter o seguinte resultado

2 π   - 1 - r ² r = 0 1 2

= 2 π 1 - 1 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ R ' 1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x = 2 π 1 - 1 2

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