Enunciado

Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares).

c )     ρ = cos ⁡ 2 θ

Passo 1

A fórmula para se calcular a área da região delimitada pela cruva é:

Á r e a = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ

Assim, substituímos os valores que temos, sendo os limites de integração o suficiente para formar a figura.

Ela será essa área:

Conseguimos ver que a figura é simétrica em relação ao semi eixo Ox e ao ânuglo de π 2 , por isso podemos calcular 4 vezes a área no intervalo de 0 , π 2

Á r e a = 1 2 ∫ α β ρ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ 2 θ d θ = 4 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ 2 θ d θ

Passo 2

Á r e a = 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ 2 θ d θ =

Temos que usar aqui a relação: cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ , porém nosso θ =   2 θ → cos 2 ⁡ 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 4 θ

2 ∫ 0 π 2 1 2 1 + cos ⁡ 4 θ d θ = ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 6 θ d θ

Fazemos a substituição: u = 4 θ → d u = 4 d θ

1 4 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ u d u = 1 4 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ u d u

θ 4 + ( sin ⁡ u ) 4 2 π 0 = 2 π 4 + ( sin ⁡ 2 π ) 4 = π 2

Resposta

Á r e a = π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. [Em cada exercício, suponha que f e g sejam funções contínuas distintas de [ a , b ] e que A denote a área da região delimit
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. [Em cada exercício, suponha que f e g sejam funções contínuas distintas de [ a , b ] e que A denote a área da região delimit
Dê uma estimativa para o valor de k ( 0k1 ), tal que a região englobada por y = 1 / 1 - x 2 , y = x ,x = 0 e x = k tenha uma área de 1 unidade.
Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontrar a área da região englobada pelas curvas. x = y 3 - y , x = 0
Encontre a área da região englobada pela parábola y = 2 x - x 2 e o eixo x .Encontre o valor de m de tal forma que a reta y = m x divida a região de (a) em duas regiões de mesma área.