Enunciado

Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada.

a )   f x = e x + e - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 1  

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve a área de superfície, como sabemos ela é:

∫ a b 2 π f x 1 + d f x d x 2 d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d e x + e - x 2 d x = e x - e - x 2

Agora substituímos:

∫ - 1 1 2 π e x + e - x 2 1 + e x - e - x 2 2 d x

Passo 2

Agora, vamos resolver a integral do passo anterior:

∫ - 1 1 2 π e x + e - x 2 1 + e x - e - x 2 2 d x =

= π ∫ - 1 1 e x + e - x 1 + e 2 x - 2 + e - 2 x 4   d x

E fazemos as contas:

= π ∫ - 1 1 e x + e - x 4 + e 2 x - 2 + e - 2 x 4   d x =

= π ∫ - 1 1 e x + e - x e 2 x + 2 + e - 2 x 4   d x =

= π ∫ - 1 1 e x + e - x e x + e - x 2 2 2 d x =

= π ∫ - 1 1 e x + e - x e x + e - x 2 d x =

= π 2 ∫ - 1 1 e x + e - x 2 d x =

= π 2 ∫ - 1 1 e 2 x + 2 + e - 2 x d x

Agora, é só integrar:

π 2 ∫ - 1 1 e 2 x + 2 + e - 2 x d x = π 2 e 2 x 2 + 2 x - e - 2 x 2 - 1 1 =

= π 2 e 2 2 + 2 - e - 2 2 - e - 2 2 - 2 - e 2 2 =

= π 2 e 2 2 + 2 - e - 2 2 - e - 2 2 + 2 + e 2 2 =

= π 2 e 2 + 4 - e - 2

Prontinho! Acabou!

Resposta

∫ - 1 1 2 π e x + e - x 2 1 + e x - e - x 2 2 d x = π 2 e 2 + 4 - e - 2

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Seja f com derivada contínua em a , b e seja P : a = x 0x 1x 2… x n = b uma partição de a ,b . Indique por L P o comprimento da poligonal de vértices ( x 0 ,f ( x 0 ) ) ,( x 1 ,f ( x 1 ) ) ,… ,( x n ,
Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada. c )y = x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 2
Calcule o comprimento do gráfico da função dada. f x = x , 1 4 ≤ x ≤ 3 4
Para x y = 1 ,1 ≤ y ≤ 2 ; eixo y :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça
Para y = x 2 ,0 ≤ x ≤ 2 ; eixo x :Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do seu eixo.Trace o gráfico da curva para ver como ela é. Se puder, faça