Lista de Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

Ver Teoria

Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do pedaço de astróide x 2 / 3 + y 2 / 3 = 1 , mostrado a seguir

Dica: Gire o pedaço do primeiro quadrante em torno do eixo x e dobre o resultado

Ver solução completa

a) A fórmula da área de superfície foi desenvolvida sob o pressuposto de que a função f , cujo gráfico gerou a superfície, era não negativa no intervalo de integração. Para curvas que cruzam o eixo de revolução, substituímos a equação pela fórmula de valor absoluto

S = ∫ 2 π ρ d s = ∫ 2 π f x d s

Use essa equação para determina a área de superfície do cone duplo gerado pela rotação, em torno do eixo x , do segmento de reta y = x , - 1 ≤ x ≤ 2

b) Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , da curva

y = x 3 9 ,     - 3 ≤ x ≤ 3

Ver solução completa

Determine as áreas das superfícies geradas pela rotação da curvas em torno dos eixos indicados.

x = 2 y - 1 ,     5 8 ≤ y ≤ 1 ,     e i x o   y

Ver solução completa

Eis um desenho esquemático da redoma de 90 pés usada pelo Serviço Meteorológico Nacional dos Estados Unidos para abrigar um radar em Bozeman, Montana.

Se a redoma fosse pintada, qual a área da superfície que receberia tinta (sem contar a base)?

Ver solução completa

Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado

y = ∫ 1 x t 2 - 1 d t

Com

1 ≤ x ≤ 5

Rotacionando em torno do eixo x

Ver solução completa

18 . Quando giramos o gráfico de uma função de classe C 1 , y = f x ≥ 0 , a ≤ x ≤ b , em torno do eixo 0 x , obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

(para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1 , seção 8.2 )

Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno 0 x do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.

a f x = x ,   0 ≤ x ≤ 1

Ver solução completa

18 . Quando giramos o gráfico de uma função de classe C 1 , y = f x ≥ 0 , a ≤ x ≤ b , em torno do eixo 0 x , obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

(para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1 , seção 8.2 )

Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno 0 x do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.

b f x = e x ,   0 ≤ x ≤ 1

Ver solução completa