Enunciado

Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

f) y = e x ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Para o calcular o comprimento do gráfico precisamos aplicar a seguinte formula:

d = ∫ b a 1 + d y d x 2 d x

Sendo y = e x , vamos calcular sua derivada!

d y d x = e x

Passo 2

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 0 1 1 + e x 2 d x

Para que possamos resolver essa integral precisaremos fazer algumas substituições trigonométricas, para isso usaremos o triângulo abaixo para servi de norte!

Do triângulo tiramos que :

tan ⁡ θ = e x

Derivando dos dois lados teremos

sec 2 ⁡ θ d θ = e x d x

Isolando d x :

d x = sec 2 ⁡ θ d θ e x

Note também que :

sec ⁡ θ = 1 + e x 2

Agora que já temos todas essas informações vamos reescrever a integral e calcular sua primitiva:

∫ 1 + e x 2 d x = ∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Usaremos o método da substituição por partes para calcular essa primitiva, lembrando que ao escolher bem u e v   , facilita as contas!!!

u = csc ⁡ θ                     d u = - csc ⁡ θ cot ⁡ θ

d v = se c 2 ⁡ θ                 v = tan ⁡ θ

Substituindo, teremos que:

∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ csc ⁡ θ - ∫ - tan ⁡ θ csc ⁡ θ cot ⁡ θ d θ

∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ csc ⁡ θ + ∫ c s c θ d θ  

Resolvendo, acharemos que:

∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ csc ⁡ θ - ln ⁡ cot ⁡ θ   + csc ⁡ θ + C

Show, resolvemos a integral indefinida mas fizemos isso em função de θ precisamos agora trocar essas funções trigonométricas por x!

Mas eii, nos já calculamos esses caras lembra?

csc ⁡ θ = 1 + e x 2 e x           ;   cot ⁡ θ = 1 e x       ; tan ⁡ θ = e x

Assim após a substituição ficaremos com:

∫ csc ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 1 + e x 2 - ln ⁡ 1 + e x 2 e x + 1 e x + C

Passo 4

Agora que já temos a faca e o queijo na mão, calcularemos o comprimento d :

d = 1 + e 1 2 - ln ⁡ 1 + e 1 2 e 1 + 1 e 1 - 1 + 1 - ln ⁡ 1 + 1 + 1

d = 1 + e 2 - 2 - ln ⁡ 1 + e 2 + 1 e + ln ⁡ 2 + 1

Esperaaa um pouco my friend, eu sei que parece que já acabou mais a resposta ainda pode ser melhorada se nos usarmos as propriedades básicas de logatirimo !

d = 1 + e 2 - 2 + ln ⁡ e 2 + 1 1 + e 2 + 1

Resposta

d = 1 + e 2 - 2 + ln ⁡ e 2 + 1 1 + e 2 + 1

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