Calcule f'(x) , pela definição.

c) f(x) = x^3

Passo 1

Essa é uma parte HARD de Cálculo. Calcular pela definição é sempre mais complicadinho, mas nunca dá erro. Inclusive, as vezes os truques de derivação não dão certo, então seremos forçados a calcular pela definição. Treinar isso é importante. Então vamos arregaçar as mangas. Vamos relembrar que a definição de derivada f ' ( x ) é:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Passo 2

Aqui temos que

f x = x 3

f x + h = x + h 3

Então substituindo na definição temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Passo 3

Vamos abrir o numerador agora, é um termo cubico então podemos fazer na mao sem precisar de ainda mais truques.

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 3 + 3 h 2 x + 3 h x 2 + x 3 - x 3 h

= lim h → 0 ⁡ h 3 + 3 h 2 x + 3 h x 2 h

= lim h → 0 ⁡ h 2 + 3 h x + 3 x 2

Agora sim! Podemos aplicar o limite e saber como se comporta a derivada. Quando h → 0 o valor de f ' ( x ) é:

f ' x = 3 x 2

Essa parte de calculo é cheia de truques. Quanto mais exercícios voce fizer mais afiado fica. Terminamos por aqui. Te vejo no próximo exercício: )

Resposta

f ' x = 3 x 2

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