Enunciado

Calcule f^' ( x ) , pela definição.

c ) f (x) = x^3

Passo 1

Essa é uma parte HARD de Cálculo. Calcular pela definição é sempre mais complicadinho, mas nunca dá erro. Inclusive, as vezes os truques de derivação não dão certo, então seremos forçados a calcular pela definição. Treinar isso é importante. Então vamos arregaçar as mangas. Vamos relembrar que a definição de derivada f^' ( x ) é:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h)

Passo 2

Aqui temos que

f (x) = x^3

f (x + h) = (x + h)^3

Então substituindo na definição temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^3 - x^3)/(h)

Passo 3

Vamos abrir o numerador agora, é um termo cubico então podemos fazer na mao sem precisar de ainda mais truques.

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (h^3 + 3 h^2 x + 3 h x^2 + x^3 - x^3)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (h^3 + 3 h^2 x + 3 h x^2)/(h)

= underset(h -> 0)(lim) h^2 + 3 h x + 3 x^2

Agora sim! Podemos aplicar o limite e saber como se comporta a derivada. Quando h -> 0 o valor de f^' ( x ) é:

f^' (x) = 3 x^2

Essa parte de calculo é cheia de truques. Quanto mais exercícios voce fizer mais afiado fica. Terminamos por aqui. Te vejo no próximo exercício: )

Resposta

f^' (x) = 3 x^2

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