Seja f: R -> R derivável e seja g(t) = f(t^2 + 1) . Supondo f'(2) = 5 , calcule g'(1) .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a derivada de g ' t , vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de uma função, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

g ' t = d y d t = f ' h t ⋅ h ' t

Passo 2

Temos que h t é a função mais de dentro e y = f t a função mais de fora:

h t = t 2 + 1

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função constante e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

g ' t = d y d t = f ' h t ⋅ h ' t = f ' t 2 + 1 ⋅ t 2 + 1 ' = f ' t 2 + 1 ⋅ 2 t 2 - 1 + 0 = f ' t 2 + 1 ⋅ 2 t

Passo 4

Vamos agora calcular g ' 1 :

g ' 1 = f ' 1 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = f ' 2 ⋅ 2

Pronto, temos no enunciado o valor de f ' 2 , então é só substituir e temos a resposta:

g ' 1 = f ' 2 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2 = 10

Resposta

g ' 1 = 10

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