Enunciado

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

f x = e x 2 em p = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? A questão pede para a gente achar a derivada pela definição. Para quem não lembra, nós vamos ter que aplicar essa fórmula aqui:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Vamos lá!

Passo 2

Aqui temos que

f x = e x 2

A derivada de f em p pode ser calculada pelo limite:

f ' p = lim h → 0 ⁡ f h + p - f p h

Substituindo na fórmula,

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ e h + 0 2 - e 0 2 h

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ e h 2 - 1 h

Se a gente aplicar h → 0 direto, vamos chegar em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então vamos sair dessa indeterminação!

Passo 3

Agora é a hora de tirarmos o “Às da manga”, saca só. Se a gente multiplicar e dividir por h acontece o seguinte :

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ e h 2 - 1 h ⋅ h h

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ e h 2 - 1 h 2 h

Então vamos separar esse produto em dois limites!

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ e h 2 - 1 h 2 .   lim h → 0 ⁡ h

Agora vamos resolver cada um separadamente!

Passo 4

Para o primeiro limite,

lim h → 0 ⁡ e h 2 - 1 h 2

Se aplicarmos uma substituição u = h 2 , temos:

f ' 0 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 u

A hora do pulo do gato chegou. Vamos usar o limite fundamental exponencial, onde temos que

lim u → 0 ⁡ e u - 1 u = 1

Agora vamos resolver o segundo limite,

lim h → 0 ⁡ h = 0

Juntando tudo,

f ' 0 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 u ⋅ lim h → 0 ⁡ h

f ' 0 = 1 ⋅ 0 = 0

f ' 0 = 0

Eu sei, questões de tem essas saídas que saem da cartola parecem estranhas, mas isso você vai pegando a manha com tempo e exercício. Terminamos por aqui, te vejo no próximo exercício.

Resposta

f ' 0 = 0

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