Enunciado

Calcule f^' ( p ) , pela definição, sendo dados

a ) f (x) = x^2 + x ; p = 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada de f (x) = x^2 + x no ponto p = 1 , ou seja, calcular f^' ( p ) .

Para isso, como ele pediu, vamos precisar usar a definição de derivada, que é dada por:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h)

Então, vamos substituir x = x + h na função para obter f ( x + h ) , subtrair f ( x ) desse resultado, dividindo todo mundo por h e fazendo h tender a zero.

Vamos lá!

Passo 2

Sabendo que f (x) = x^2 + x , vamos ter:

f (x + h) = (x + h)^2 + x + h

f (x + h) = x^2 + 2 h x + h^2 + x + h

Substituindo esse resultado na definição de derivada junto com a nossa f ( x ) , temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (x^2 + 2 h x + h^2 + x + h - ( x^2 + x ))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (x^2 + 2 h x + h^2 + x + h - x^2 - x)/(h)

Simplificando os termos semelhantes:

= underset(h -> 0)(lim) (2 h x + h + h^2)/(h)

Colocando h em evidência:

underset(h -> 0)(lim) (h ( 2 x + 1 + h ))/(h)

E simplificando novamente:

underset(h -> 0)(lim) 2 x + 1 + h

Assim, quando h -> 0 , teremos:

f^' (x) = 2 x + 1 + 0

f^' (x) = 2 x + 1

Passo 3

Mas como queremos saber o valor dessa derivada no ponto x = 1 , vamos substituir esse valor no resultado que encontramos no passo anterior:

f^' (1) = 2 * 1 + 1

f^' (1) = 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f^' (1) = 3

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